Визначені та невласні інтеграли - реферат українською
Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.
1. Означення та властивості визначеного інтеграла
1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла
Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.
1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А].
Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.
Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками
а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b
Довжини цих частин
Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює
Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати
Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто
Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина .
Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі,
2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.
Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.
Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо .
Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях
Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто
До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.
1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст
Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення
а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b
У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .
Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].
Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається
Математично це означення можна записати так:
Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.
Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді
тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.
Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3. Основні властивості визначеного інтеграла
Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.
1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то
2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто
3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто
4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто
для будь-якої функції f (х).
5 Якщо f (х) (х), х [а, b], то
6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то
7 де
8
1.4. Обчислення визначених інтегралів
Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.
2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами
Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.
1. Означення та властивості визначеного інтеграла
1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла
Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.
1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А].
Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.
Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками
а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b
Довжини цих частин
Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює
Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати
Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто
Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина .
Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі,
2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.
Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.
Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо .
Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях
Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто
До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.
1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст
Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення
а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b
У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .
Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].
Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається
Математично це означення можна записати так:
Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.
Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді
тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.
Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3. Основні властивості визначеного інтеграла
Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.
1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то
2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто
3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто
4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто
для будь-якої функції f (х).
5 Якщо f (х) (х), х [а, b], то
6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то
7 де
8
1.4. Обчислення визначених інтегралів
Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними.
2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами
Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.
Схожі українські реферати
1. Реферат: Видобуток підземних вод Україна багата якісними мінеральними та прісними підземними водами. Радонові Води Хмільника та столова вода "Регіна" відомі далеко за межами України. На даний час ведуться роботи по розвідці і освоєнню Немирівського родовища радонових вод. Бронниц... 2. Реферат: Визвольна війна під проводом Богдана Хмельницького Причини та характер визвольної війни Причини визвольної війни полягають в глибокому минулому, спробуємо їх розглянути. Як відомо, Київська Русь втратила свою державність через татаро-монгольську навалу. Але північні території, такі як Новгоро... 3. Реферат: Визвольна війна українського народу (1648-1676 рр.) Визвольна війна, що спалахнула в середині ХVII ст. в український землях, мала на меті визволення України з-під панування шляхетської Речі Посполитої, створення власної незалежної держави, формування у ній нового соціально-економічного ладу з дрібною ... 4. Реферат: Визнання і гарантування місцевого самоврядування в Україні Всебічний розвиток місцевого самоврядування є однією з найважливіших ознак будь-якої демократичної держави. Україна – держава зі стійкою традицією місцевого самоврядування. Управління в українських регіонах традиційно ґрунтується на використанні різ... 5. Реферат: Визнання предметів “холодною зброєю” “Носіння, виготовлення, ремонт або збування кинджалів, фінських ножів, кастетів чи іншої холодної зброї” - саме так сформульована диспозиція частини 2 статті 263 Кримінального кодексу України. Але що таке “холодна зброя” взагалі та “інша холодна збр... 6. Реферат: Визначальні особливості філософії науки Сучасний пафос критики рацiоналiзму, системностi, скорiше за все полагає у спробi спрощення уявлення про фiлософський дискурс, процес пiзнання. Учення, що мова становить систему знакiв, а кожна одиниця системи одночасно визначає iншi елемен... 7. Реферат: Визначальні технологічні інновації в управлінні навчанням фізики Світ особистості наповнений цінностями. В умовах доцільної діяльності ці цінності завжди пов’язані і складно опосердковані з різноманітними усвідомленими цілями діяльності індивіда. Щодо цілей фізичної освіти, необхідно зробити (з певним уп... 8. Реферат: Визначений інтеграл Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла На рис. 7.3. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її вироджені випадки (б) та (в). Рис. 7.3 Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 7.4). Розв’язання. (... 9. Реферат: Визначений інтеграл (лекція) Розглянемо функцію ?(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ?1; ?1 ... 10. Реферат: Визначені інтеграли. Теорема Ньютона-Лейбніца Реферат на тему: Визначені інтеграли. Теорема Ньютона-Лейбніца План Властивості визначеного інтеграла Теорема Ньютона-Лейбніца Властивості визначеного інтеграла Означення визначеного інтеграла було до цього часу дане для інтерв...
11. Реферат: Визначені та невласні інтеграли
Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях. 1. Означення та властивості визначеного інтеграла 1.1. Задачі, що привели до поняття в... 12. Реферат: Визначення відстаней до зір. Їх основні характеристики Зорі — найпоширеніший тип небесних тіл у Всесвіті. Зір до 6-ї зоряної величини налічується близько 6000, до 11-ї зоряної величини приблизно мільйон, а до 21-ї зоряної величини їх на всьому небі близько 2 млрд. Усі вони, як і Сонце, є розжареними сам... 13. Реферат: Визначення антропології як науки Антропологія — область наукового пізнання, у рамках якої вивчаються фундаментальні проблеми існування людини в природні та середовищі. Іншими словами: антропологія - це наука про походження й еволюцію людини, утворення людських рас і про нормальні в... 14. Реферат: Визначення визначника методом Гауса Сучасні комп'ютерні технології дозволяють автоматизувати математичні задачі. Завдяки цьому їх використання стало простішим і доступнішим. Б цій курсовій роботі я надаю приклад такої задачі. Теоретичні відомості : Матриці та їх властивості Визначн... 15. Реферат: Визначення відстаней до зір. Їх основні характеристики Зорі — найпоширеніший тип небесних тіл у Всесвіті. Зір до 6-ї зоряної величини налічується близько 6000, до 11-ї зоряної величини приблизно мільйон, а до 21-ї зоряної величини їх на всьому небі близько 2 млрд. Усі вони, як і Сонце, є розжареним... 16. Реферат: Визначення відстаней і розмірів тіл у Сонячнії системі, та рух небесних тіл під дією сил тяжіння. І. Визначення відстаней і розмірів тіл в Сонячній системі. Сонячна система, складається з центра, світила – Сонця і 9 великих планет, шо обертаються навколо нього, їх сопутників, багато малих планет, комет і метеоритних частинок (міжпланетного поро... 17. Реферат: Визначення відстаней і розмірів тіл у Сонячній системі І РОЗМІРІВ ТІЛ У СОНЯЧНІЙ СИСТЕМІ І. Визначення відстаней. Середню відстань усіх планет від Сонця в астрономічних одиницях можна обчислити, використовуючи третій закон Кеплера. Визначивши середню відстань Землі від Сонця (тобто значення 1 а.... 18. Реферат: Визначення впливу рекламного звернення на цільову аудиторію Тестування рекламного звернення є найважливішою складовою рекламної кампанії. В Україні тільки почалися такого роду дослідження ефективності реклами, в економічно розвинутих країнах вони використовуються вже давно. Існують десятки тисяч фірм, що ... 19. Реферат: ВИЗНАЧЕННЯ ГЕОГРАФІЧНОЇ ШИРОТИ ЗА АСТРОНОМІЧНИМИ СПОСТЕРЕЖЕННЯМИ 1. Висота полюса світу над горизонтом. Звернемося до малюнка 12. Ми бачимо, що висота полюса світу над горизонтом hр = РСN, а географічна широта місця = СОR. Ці два кути (РСN і СОR.) дорівнюють один одному як... 20. Реферат: Визначення географічної широти за астрономічними спостереженнями 1. Висота полюса світу над горизонтом. Звернемося до малюнка 12. Ми бачимо, що висота полюса світу над горизонтом hр = ? РСN, а географічна широта місця ? = ?СОR. Ці два кути (?РСN і ?СОR.) дорівнюють один одному як кути із взаємно перпендикулярними ... 21. Реферат: ВИЗНАЧЕННЯ ДОВЖИНИ СВІТЛОВОЇ ХВИЛІ Обладнання, необхідні вимірювання, засоби вимірювання У роботі на визначення довжини світлової хвилі використовують дифракційну решітку з періодом 1/100 мм або 1/50 мм (період вказано на решітці). Решітка — це основна частина вимірювальної установ... |
|