Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші - реферат українською
Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
План
Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Ознака Даламбера
Радикальна ознака Коші
Інтегральна ознака Коші
13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
Нехай задані два ряди з додатними членами
(13.4)
(13.5)
Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).
Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) - збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через і . Оскільки
,
то, очевидно,
Ряд (13.5) - збігається, тому існує границя його частинної суми
Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що і тоді в силу нерівності
Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при
Отже, ряд (13.4) збігається.
2) Нехай ряд (13.4) - розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.
Приклад.1 Дослідити збіжність ряду
Р о з в ' я з о к. Ряд знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:
і ряд збігається ( тут ), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.
Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності виконуються, починаючи з деякого
Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.
Теорема 2. Якщо існує границя
(13.6)
то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) - розбіжність ряду (13.5) при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для
достатньо великих будемо мати
, звідки
Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).
Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.
Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду
Р о з в ' я з о к. Нехай а Ряд збігається.Оскільки
то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду
13.4. Ознака Даламбера
Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто
(13.7)
то:
1) при ряд (13.4) збігається;
2) при ряд (13.4) розбігається;
3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність
(13.8)
Дійсно, оскільки величина прямує до границі то , починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто
Звідси і випливає нерівність (13.8).
Запишемо нерівність (13.8) для різних значень починаючи з номера :
. (13.9)
Розглянемо тепер два ряди:
,
.
Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником , тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з , менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд - збігається, а це і є ряд (13.4).
2) Нехай Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність
,
або Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера , а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.
Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли Це випливає з того, що починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність , або .
Зауваження 2. Якщо , то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому - розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.
Зауваження 3. Якщо , але відношення для всіх номерів , починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.
Це випливає з того, що при буде виконуватися нерівність , і загальний член не прямує до нуля при
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду
.
Р о з в ' я з о к. Використаємо ознаку Даламбера : ,
і
, тому ряд розбігається.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .
План
Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Ознака Даламбера
Радикальна ознака Коші
Інтегральна ознака Коші
13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами
Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.
Нехай задані два ряди з додатними членами
(13.4)
(13.5)
Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).
Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) - збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через і . Оскільки
,
то, очевидно,
Ряд (13.5) - збігається, тому існує границя його частинної суми
Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що і тоді в силу нерівності
Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при
Отже, ряд (13.4) збігається.
2) Нехай ряд (13.4) - розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.
Приклад.1 Дослідити збіжність ряду
Р о з в ' я з о к. Ряд знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:
і ряд збігається ( тут ), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.
Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності виконуються, починаючи з деякого
Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.
Теорема 2. Якщо існує границя
(13.6)
то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) - розбіжність ряду (13.5) при
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для
достатньо великих будемо мати
, звідки
Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).
Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.
Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду
Р о з в ' я з о к. Нехай а Ряд збігається.Оскільки
то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду
13.4. Ознака Даламбера
Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто
(13.7)
то:
1) при ряд (13.4) збігається;
2) при ряд (13.4) розбігається;
3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.
Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність
(13.8)
Дійсно, оскільки величина прямує до границі то , починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто
Звідси і випливає нерівність (13.8).
Запишемо нерівність (13.8) для різних значень починаючи з номера :
. (13.9)
Розглянемо тепер два ряди:
,
.
Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником , тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з , менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд - збігається, а це і є ряд (13.4).
2) Нехай Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність
,
або Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера , а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.
Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли Це випливає з того, що починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність , або .
Зауваження 2. Якщо , то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому - розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.
Зауваження 3. Якщо , але відношення для всіх номерів , починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.
Це випливає з того, що при буде виконуватися нерівність , і загальний член не прямує до нуля при
Приклад 1. Дослідити збіжність ряду
.
Р о з в ' я з о к. Використаємо ознаку Даламбера : ,
і
, тому ряд розбігається.
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .
Скачати реферат Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Дослідження структури ознак земельно-інформаційної системи В умовах економічного реформування значно зростає роль державного земельного кадастру, який є інформаційною базою для ефективного управління земельними ресурсами, ведення земельної статистики, землеустрою, регулювання земельних відносин, підтримки по... 2. Реферат: Дослідження універсальних аналогових фільтрів 1.Мета: ознайомитись з основними типами аналогових фільтрів 2. Технічне забезпечення: ПЕОМ програма EWB 40 3. Короткі теоретичні відомості. Активні фільтри будуються на опорах, конденсаторах та підсилювачах (... 3. Реферат: Дослідження фізико-хімічних властивостей питної води. Твердість води Природні води являються розчинами, різними за складом з широким діапазоном вмісту розчинених речовин. Формування складу природних вод проходить в результаті ви луження, випаровування, конденсації та іонного обміну, поглинання і виділення газів, житт... 4. Реферат: Дослідження функції двох змінних Екстремум функції двох змінних . Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму. або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує. . Якщо: ; ; немає екстремуму. , тоді потрібні додаткові дослідження. на екстремум ... 5. Реферат: Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням 1. Вступ У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна систе... 6. Реферат: Дослідження харчування Дослідження харчування Методи вимірювання калорій (енергії їжі) відрізняються від методів дослідження інших нутрієнтів. Вимірювання енергетичного балансу технічно складне і використовується лише в спеціалізованій дослідницькій лабораторії. Використа... 7. Реферат: Дослідники автоматичного перекладу В.Інгве, Д.М.Йейтс, М.Мастерман, Є. фон Глазерсфельд: їх праці та внесок в розвиток автоматичного перекладу Німецікий дослідник автоматичного перекладу Віктор Інгве вважав, що для подолання труднощів при перекладі треба ретельно вивчати морфологію та синтаксис відповідних мов, а також розробляти повний перелік елементарних одиниць кожної мови. Опис мови... 8. Реферат: Дослідники автоматичного перекладу... Обчислювальні машини і переклад. В.Інгве Німецікий дослідник автоматичного перекладу Віктор Інгве вважав, що для подолання труднощів при перекладі треба ретельно вивчати морфологію та синтаксис відповідних мов, а також розробляти повний перелік... 9. Реферат: Дослідники некрополів з хрестами козацького типу Хрест часто виступає як сакральний план храму, міста, поселення, підкреслюючи цим ізоморфність споруди - зразку космічного світу [2]. Вперше зображення хрестів як атрибутів поховального обряду, зустрічаються в Україні на білокам’яних князівських с... 10. Реферат: Досократівська філософія План : 1. Вступ 2. Основні філософи і школи досократівський філософії: 2.1. Мілетська школа 2.2. Геракліт Єфейський 2.3. Єліати 2.4. Піфагорівське навчання 2.5. Ємпідокл 2.6. Анаксагор 2.7. Давньогрецькі атомісти 3. Висн...
11. Реферат: Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами, ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші План Ознаки порівняння рядів з додатними членами Ознака Даламбера Радикальна ознака Коші Інтегральна ознака Коші ... 12. Реферат: Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші. План • Ознаки порівняння рядів з додатними членами • Ознака Даламбера • Радикальна ознака Коші • Інтегральна ознака Коші 13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встано... 13. Реферат: Дострокове зняття судимості судом Встановлюючи, що у передбачених ним випадках особа визнається судимою ще протягом відповідного періоду і після відбуття призначеного покарання, закон виходить з того, що для закріплення результатів кримінально-правового впливу на неї і упевненості в... 14. Реферат: Досягнення макроекономічної рівноваги 1. Досягнення макроекономічної рівноваги - центральна проб- лема як макроекономічної теорії,так і макроекономіки як науки прикладної.Під макроекономічною рівновагою розуміють досяг- нення таких народногосподарських пропорцій, за яких дина... 15. Реферат: Досягнення селекціонерів Сумщини 5 липня 2003 року на базі Сумського інституту агропромислового виробництва Української академії аграрних наук у с. Сад Сумського району було організовано й проведено обласну сільськогосподарську виставку-ярмарок “Сумщина’2003”. У виставці-ярмарку в... 16. Реферат: ДОТРИМАННЯ ВІЙСЬКОВОСЛУЖБОВЦЯМИ СТАТУТНИХ СТОСУНКІВ ПРАВИЛА ВІЙСЬКОВОЇ ВВІЧЛИВОСТІ Стосунки між військовослужбовцями ґрунтуються на взаємній повазі. Усі військовослужбовці під час зустрічі (обгону) вітають один одного, дотримуючись правил, визначених статутом. З питань служби звертаються один до одного на «ви». Начальники і стар... 17. Реферат: Дотримання військовослужбовцями статутних стосунків. Правила ввічливості Стосунки між військовослужбовцями ґрунтуються на взаємній повазі. Усі військовослужбовці під час зустрічі (обгону) вітають один одного, дотримуючись правил, визначених статутом. З питань служби звертаються один до одного на «ви». Начальники і с... 18. Реферат: Дотримання військовослужбовцями статутних стосунків. Правила військової ввічливості Стосунки між військовослужбовцями ґрунтуються на взаємній повазі. Усі військовослужбовці під час зустрічі (обгону) вітають один одного, дотримуючись правил, визначених статутом. З питань служби звертаються один до одного на «ви». Начальники і старші... 19. Реферат: Дотримання правил зберігання зернозбиральних комбайнів — гарантія збереження їх техніко-економічних показників За даними економічних досліджень, Україна посідає перше місце за сумою витрат на паливо, технічне обслуговування і ремонт (ТОР) техніки під час виробництва зерна озимої пшениці. На придбання палива, проведення технічного обслуговування і ремонту п... 20. Реферат: Дотримання правил хімічної безпеки Тема: Дотримання правил хімічної безпеки. Загальна характеристика хімічних речовин. Протягом свого життя людина постійно стикається з великою кількістю шкідливих речовин, які можуть викликати різні види захворювань, розлади здоров'я, а також травми ... 21. Реферат: Доходи бюджетів 1. Доходи бюджетів 1.1 Закріплені доходи місцевих бюджетів Закріплені доходи є основою самостійності місцевих бюджетів. Перелік доходів, які повністю зараховуються до місцевих бюджетів, встановлений Законом “Про бюджетну систему України” Раз... |
|