Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв'язків - реферат українською
Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв'язків
План
Поняття про стійкість розв'язків.
Контрольні запитання:
Які функції описують незбурений розв'язок?
Який розв'язок системи називається стійким за Ляпуновим ?
При яких умовах розв'зок називають нестійким ?
Який розв'язок називають асимптотично стійким ?
Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розв'язок, що задовольняє цю умову, на стійкість.
При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об'єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об'єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги ( різних початкових умовах ) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов.
Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття “ мала величина”.
Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об'єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі:
Якщо об'єкт має один степінь вільності, то його рух описується системою:
нелінійною
;
лінійною
У системі (1.1) невідомими є функції часу в системах (1.2) і (1.3) - та Нехай функції визначені в n-вимірній кулі радіуса R: для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих функцій
які є розв'язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При існує набір чисел взятих з n-вимірної кулі що дає змогу тільки єдиним чином дістати Функції
при цьому переходять у єдину систему частинних розв'язків системи (1.1):
……………………………
Надалі треба буде змінювати початкові умови і відповідно частинні розв'язки. При цьому вважаємо, що ці зміни не виводять функції та початкові умови з області визначення правої частини рівняння (1.1). Дамо означення стійкості розв'язку системи (1.1). Нехай відомий частинний розв'язок системи (1.1). що відповідає початковим умовам при Змінимо початкові умови при Частинний розв'язок, що відповідає цим новим умовам, позначимо Функції описують так званий незбурений розв'язок, а збурений розв'язок .
Розв'язок системи (1.1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого заданого як завгодно малого додатного числа можна вказати таке мале додатне число що при
(1.4)
для всіх та справджується нерівність
(1.5)
Якщо при виконанні всіх умов (1.4) хоч для одного i=k не виконується умова (1.5), тобто то розв'язок називається нестійким. Якщо при виконанні умов (1.4), (1,5) виконано ще й умови
(1.6)
для всіх то розв'язок називається асимптотично стійким. Якщо серед рівностей (1.6) хоч би одна, наприклад для i=k, не виконана, але виконані всі умови (1.5), то розв'язок називається неасимптотично стійким. Якщо то йдеться про стійкість нульового розв'язку (точки спокою).Якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа >0 можна вказати таке мале додатне число яке залежить від що при
(1.7)
для всіх та виконуються нерівності
(1.8)
то нульовий розв'язок називається стійким за Ляпуновим. Якщо при виконанні (1.7) для всіх хоч би одна з умов (1.8) не виконується, то нульовий розв'язок називається нестійким.
Якщо при виконанні умов (1.7) та (1.8) виконуються ще й умови
(1.9)
для всіх то нульовий розв'язок називається асимптотично стійким.
Якщо говорити про стійкість при зміні силової дії, то зміна сил відбивається на зміні коефіцієнтів диференціальних рівнянь, що описують рух. Ті системи, розв'язок яких не змінюється при незначній зміні коефіцієнтів, називаються грубими. Грубі системи є стійкими.
Використана література:
1. Овчинников П.Ф., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика. - К.: Вища шк., 1989. - 117-118 с.
План
Поняття про стійкість розв'язків.
Контрольні запитання:
Які функції описують незбурений розв'язок?
Який розв'язок системи називається стійким за Ляпуновим ?
При яких умовах розв'зок називають нестійким ?
Який розв'язок називають асимптотично стійким ?
Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розв'язок, що задовольняє цю умову, на стійкість.
При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об'єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об'єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги ( різних початкових умовах ) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов.
Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття “ мала величина”.
Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об'єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі:
Якщо об'єкт має один степінь вільності, то його рух описується системою:
нелінійною
;
лінійною
У системі (1.1) невідомими є функції часу в системах (1.2) і (1.3) - та Нехай функції визначені в n-вимірній кулі радіуса R: для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих функцій
які є розв'язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При існує набір чисел взятих з n-вимірної кулі що дає змогу тільки єдиним чином дістати Функції
при цьому переходять у єдину систему частинних розв'язків системи (1.1):
……………………………
Надалі треба буде змінювати початкові умови і відповідно частинні розв'язки. При цьому вважаємо, що ці зміни не виводять функції та початкові умови з області визначення правої частини рівняння (1.1). Дамо означення стійкості розв'язку системи (1.1). Нехай відомий частинний розв'язок системи (1.1). що відповідає початковим умовам при Змінимо початкові умови при Частинний розв'язок, що відповідає цим новим умовам, позначимо Функції описують так званий незбурений розв'язок, а збурений розв'язок .
Розв'язок системи (1.1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого заданого як завгодно малого додатного числа можна вказати таке мале додатне число що при
(1.4)
для всіх та справджується нерівність
(1.5)
Якщо при виконанні всіх умов (1.4) хоч для одного i=k не виконується умова (1.5), тобто то розв'язок називається нестійким. Якщо при виконанні умов (1.4), (1,5) виконано ще й умови
(1.6)
для всіх то розв'язок називається асимптотично стійким. Якщо серед рівностей (1.6) хоч би одна, наприклад для i=k, не виконана, але виконані всі умови (1.5), то розв'язок називається неасимптотично стійким. Якщо то йдеться про стійкість нульового розв'язку (точки спокою).Якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа >0 можна вказати таке мале додатне число яке залежить від що при
(1.7)
для всіх та виконуються нерівності
(1.8)
то нульовий розв'язок називається стійким за Ляпуновим. Якщо при виконанні (1.7) для всіх хоч би одна з умов (1.8) не виконується, то нульовий розв'язок називається нестійким.
Якщо при виконанні умов (1.7) та (1.8) виконуються ще й умови
(1.9)
для всіх то нульовий розв'язок називається асимптотично стійким.
Якщо говорити про стійкість при зміні силової дії, то зміна сил відбивається на зміні коефіцієнтів диференціальних рівнянь, що описують рух. Ті системи, розв'язок яких не змінюється при незначній зміні коефіцієнтів, називаються грубими. Грубі системи є стійкими.
Використана література:
1. Овчинников П.Ф., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика. - К.: Вища шк., 1989. - 117-118 с.
Скачати реферат Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв'язків
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Системи алгебраїчних рівнянь Система лінійних алгебраїчних рівнянь Основним методом розв’язання системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими є метод виключення Гаусса. Розглянемо один із варіантів цього методу. Нехай маємо систему рівнянь (1) і підставляємо йо... 2. Реферат: Системи взаємозалежних індексів і визначення впливу окремих факторів. Індекси з постійними і змінними вагами Слово індекс означає показник, певна узагальнююча характеристика. Індекс - це відносна величина порівняння сукупностей та їх окремих одиниць. Статистична сукупність при цьому складається з одиниць, окремі елементи якої не можна безпосередньо додавати... 3. Реферат: Системи документації План 1. Поняття документування. 2. Системи документування. 1. Документування – це створення документа з використанням різних методів, способів і засобів фіксування інформації на матеріальному носії. Метод документування – це засіб або сук... 4. Реферат: Системи законодавства: суть та співвідношення з системою права План ВСТУП РОЗДІЛ І. ПРАВО І ЗАКОН: ПОНЯТТЯ ТА СПІВВІДНОШЕННЯ РОЗДІЛ II . СИСТЕМА ЗАКОНОДАВСТВА ТА ЇЇ ЕЛЕМЕНТИ ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ Вступ Побудова самостійної правової держави і відродження національної свідомо... 5. Реферат: Системи заходів захисту ґрунтів від ерозії лісівничими методами Ліс — наймогутніший і найдійовіший засіб боротьби з ерозією ґрунтів й екологічний стабілізатор у цілому. Сільськогосподарські угіддя, які належать до класу відкритих складних природних систем в умовах інтенсифікації сільського господарства та їх зрос... 6. Реферат: Системи збору даних та мікроконвертори Поступове ускладнення АЦП, поява багатоканальних АЦП, АЦП з вбудованим пристроєм вибірки-зберігання, АЦП зі складною цифровою частиною викликало те, що зараз існують завершені однокристальні системи збору даних, які забезпечують перетворення в цифро... 7. Реферат: Системи і види цін та їх функції. План 1. Системи цін. 2. Види ціни. 1. В умовах командно-адміністративної системи управління економікою переважало планове ціноутворення. В умовах ринку існує вільне ціноутворення. При цьому держава може впливати на нього тільки економічними... 8. Реферат: Системи координат Реферат з предмету “Вища математика” на тему: “Системи координат” 1. Поняття житлового фонду України, його складові Житловий фонд — це сукупність жилих будинків і жилих приміщень на всій території України, що визнані у встановленому ... 9. Реферат: Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір План Базис. Лінійна залежність і незалежність векторів. Декартова система координат. Довжина і координати вектора. Поділ ... 10. Реферат: Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір. Лінійна залежність і незалежність системи векторів План • Базис. • Лінійна залежність і незалежність векторів. • Декартова система координат. • Довжина і координати вектора. • Поділ відрізка в заданому відношенні. • Полярна система координат. • Циліндрична система координат. • Сферична ...
11. Реферат: Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв'язків
Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв'язків План Поняття про стійкість розв'язків. Контрольні запитання: Які функції описують незбурений розв'язок? Який розв'язок системи називаєт... 12. Реферат: Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь. Система називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо ввести векторні позначення то лінійну н... 13. Реферат: Системи лінійних рівнянь Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді АХ = В, (3.32) де Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n ( 1; вектор-стовпець В — порядок n ( 1. , то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду (3... 14. Реферат: Системи лінійних рівнянь, визначники Основні поняття Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так: (1.1) Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з , то система лінійних р... 15. Реферат: Системи масової комунікації Системи масової комунікації Масова комунікація є одним із видів комунікації. Кожен вид комунікації відрізняється один від одного не тільки природою комунікативного процесу, а й природою тих компонентів, які виконують функцію спілкування або органі... 16. Реферат: Системи міжнародної економіки Системи міжнародної економіки В сучасному світі виробляти всі види товарів, так як і створювати і удосконалювати всі типи факторів виробництва, не під силу ні одній, навіть найбагатшій країні. Міжнародна економіка є тим механізмом, який може за... 17. Реферат: Системи опрацювання графічних зображень.Сворення і редагування графічних зображень за допомогою графічного редактора Системи опрацювання графічних зображень.Сворення і редагування графічних зображень за допомогою графічного редактора. Подання інформації у вигляді схем ,діаграм ,графіків, фільмів часток є зручним для її аналізу і опрацювання.Прикладне програмн... 18. Реферат: Системи підтримки прийняття рішень фінансового аналізу на базі алгоритмів нечіткої логіки Реферат на тему: Системи підтримки прийняття рішень фінансового аналізу на базі алгоритмів нечіткої логіки Бурхливий розвиток Internet і пов'язаних із Всесвітньою мережею новітніх технологій все більш потребує притягнення для рішення виникаючи... 19. Реферат: Системи права і законодавства План. 1. Сутність системи права. 2. Сутність системи законодавства. 3. Співвідношення системи права і системи законодавства. 4. Інкорпорація і кодифікація. СИСТЕМА ПРАВА I СИСТЕМА ЗАКОНОДАВСТВА Основою нормативного підходу до пра... 20. Реферат: Системи преміювання Преміювання робітників на підприємстві Положення про преміювання робітників підприємства розробляються роботодавцем або уповноваженим ним органом, узгоджуються з профспілками та включаються до колективного договору. Роботодавець може надати право ... 21. Реферат: Системи та методи планування робочого часу Загальна тривалість робочого часу визначається, з одного боку, рівнем розвитку виробництва, з іншого — фізичними і психофізіологічними можливостями людини. Поліпшення використання робочого часу є одним з основних шляхів підвищення продуктивності прац... |
|