Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь - реферат українською
План
· Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
· Правило Крамера.
· Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.
· Метод Гауса.
· Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР.
· Теорема Кронекера Капеллі.
· Однорідні системи.
4.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР з невідомими запишемо так:
Скорочено її можна записати
Коефіцієнти при невідомих запишемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи. Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, утворюють стовпець , який називається стовпцем вільних членів. Якщо тепер через позначити стовпець із невідомих, то систему можна записати в матричному вигляді
Система називається однорідною, якщо в правій частині всі вільні члени дорівнюють нулю (нульова матриця).
Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.
Означення. Сукупність чисел називається розв’язком системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється в числову рівність після підстановки чисел замість відповідних невідомих для всіх
Система (4.1) може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок або взагалі не мати розв’язків.
Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають розв’язки – сумісними.
4.2.1. Правило Крамера
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими
В цьому випадку матриця системи квадратна.
Позначимо через визначник матриці (із коефіцієнтів при невідомих)
а через визначник, який одержується із визначника шляхом заміни го стовпця стовпцем вільних членів
Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими (4.2) відмінний від нуля, то система має розв’язок і при тому єдиний, який знаходиться за
формулами
Д о в е д е н н я. Доведемо спочатку, що які обчислюються за формулами (4.5), є розв’язками системи (4.2). Підставивши в довільне е рівняння системи одержимо
Тобто, ми показали що довільне рівняння системи (4.2) перетворюється в числову рівність при роз’язках (4.7).
Ми тут використали властивості сум, а також властивість визначників п.1.2.
Доведемо тепер єдиність розв’язку. Доведемо це від протилежного. Нехай існує ще один розв’язок Тоді будемо мати
Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо
Якщо розв’язки не співпадають, то хоча б одна із різниць відмінна від нуля. Це означало б, що стовпці матриці лінійно залежні, а тоді визначник матриці буде дорівнювати нулю, що протирічить умові теореми. Значить, наше припущення не вірне. Отже, Теорема доведена.
4.2.2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці
Систему запишемо у матричному вигляді
Домноживши дану рівність зліва на обернену матрицю одержимо
Отже, розв’язок системи в матричній формі запишеться так:
Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення:
а) Обчислимо визначник системи
обчислимо також
Тоді за формулами Крамера (4.7) одержимо
б) Запишемо систему в матричній формі де
Знайдемо обернену матрицю :
4.2.3. Метод Жордана-Гаусса
У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі, розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.
Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (4.1).
Метод Жордана-Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень:
1) множення рівняння на деяке число ;
2) заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням
тієї ж системи, помножимо на деяке число;
3) видалення з системи рівнянь тотожностей .
З допомогою перетворення 2) можна виключити деяке невідоме із усіх рівнянь системи, крім одного.
· Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).
· Правило Крамера.
· Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.
· Метод Гауса.
· Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР.
· Теорема Кронекера Капеллі.
· Однорідні системи.
4.2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР з невідомими запишемо так:
Скорочено її можна записати
Коефіцієнти при невідомих запишемо у вигляді матриці , яку назвемо матрицею системи. Числа, що стоять в правих частинах рівнянь, утворюють стовпець , який називається стовпцем вільних членів. Якщо тепер через позначити стовпець із невідомих, то систему можна записати в матричному вигляді
Система називається однорідною, якщо в правій частині всі вільні члени дорівнюють нулю (нульова матриця).
Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.
Означення. Сукупність чисел називається розв’язком системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється в числову рівність після підстановки чисел замість відповідних невідомих для всіх
Система (4.1) може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок або взагалі не мати розв’язків.
Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають розв’язки – сумісними.
4.2.1. Правило Крамера
Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими
В цьому випадку матриця системи квадратна.
Позначимо через визначник матриці (із коефіцієнтів при невідомих)
а через визначник, який одержується із визначника шляхом заміни го стовпця стовпцем вільних членів
Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими (4.2) відмінний від нуля, то система має розв’язок і при тому єдиний, який знаходиться за
формулами
Д о в е д е н н я. Доведемо спочатку, що які обчислюються за формулами (4.5), є розв’язками системи (4.2). Підставивши в довільне е рівняння системи одержимо
Тобто, ми показали що довільне рівняння системи (4.2) перетворюється в числову рівність при роз’язках (4.7).
Ми тут використали властивості сум, а також властивість визначників п.1.2.
Доведемо тепер єдиність розв’язку. Доведемо це від протилежного. Нехай існує ще один розв’язок Тоді будемо мати
Віднімаючи від першої рівності другу, одержимо
Якщо розв’язки не співпадають, то хоча б одна із різниць відмінна від нуля. Це означало б, що стовпці матриці лінійно залежні, а тоді визначник матриці буде дорівнювати нулю, що протирічить умові теореми. Значить, наше припущення не вірне. Отже, Теорема доведена.
4.2.2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці
Систему запишемо у матричному вигляді
Домноживши дану рівність зліва на обернену матрицю одержимо
Отже, розв’язок системи в матричній формі запишеться так:
Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення:
а) Обчислимо визначник системи
обчислимо також
Тоді за формулами Крамера (4.7) одержимо
б) Запишемо систему в матричній формі де
Знайдемо обернену матрицю :
4.2.3. Метод Жордана-Гаусса
У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі, розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.
Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (4.1).
Метод Жордана-Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень:
1) множення рівняння на деяке число ;
2) заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням
тієї ж системи, помножимо на деяке число;
3) видалення з системи рівнянь тотожностей .
З допомогою перетворення 2) можна виключити деяке невідоме із усіх рівнянь системи, крім одного.
Скачати реферат Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Розвиток християнства до розколу 1054 року Розвиток християнства до розколу 1054 року План І. Вступ ІІ. Прийняття та розвиток християнства В Центральній та Південно-Східній Європі Хрещення і розвиток християнства на Русі ІІІ. Розкол в християнстві 1054 року Прийняття хрис... 2. Реферат: РОЗВИТОК ШКОЛИ Й ПЕДАГОГІЧНОЇ ДУМКИ НА БУКОВИНІ Еволюція українського шкільництва й педагогічної думки Буковини протікала в загальнонаціональному руслі історії України й належить до цінних надбань виховної культури українського народу. Тим більше, що на цій предковічній території з давніх часів жи... 3. Реферат: Розвиток школи, виховання і педагогічних ідей у середньовічній Європі, в епоху Відродження та Реформації Особливості освітньо-виховної практики та педагогічної думки в епоху середньовіччя. Виникнення університетів Епоха середньовіччя охоплює період V — початок XVI ст. Від Римської імперії вона успадкувала християнську релігію в її західному різновиді... 4. Реферат: Розвитокт української літератури до Другої Світової війни Важко знайти в світовій історії аналогію,щоб жива мова,мова великого народу,систематично заборонялася й переслідувалась спеціальними державними вердиктами й актами.Наприклад: указ Миколи 2,про скасування української преси (1914). Численні більшов... 5. Реферат: Розвідувальна діяльність у Київській Русі Бажання знати якомога більше про своїх близьких і далеких сусідів одвічно властиве людям. Тому вже на зорі історії людства робились спроби пізнати життя інших народів і країн. Своєрідна розвідувальна діяльність притаманна людям, починаючи з кам'яного... 6. Реферат: Розвідувальні служби в системі демократичного цивільного контролю Створення демократичної і водночас ефективної системи контролю над діяльністю розвідувальних служб (спецслужб) — одна з актуальних проблем, що стоять перед світовим співтовариством. Розвідувальні служби завжди істотно різнилися від інших структур — м... 7. Реферат: Розв’язання раціональних рівнянь Для нашого часу характерна інтеграція наук, прагнення отримати найточніші уявлення про загальну будову світу. Ці ідеї знаходять своє відображення і в концепції освіти. Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань ... 8. Реферат: Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді Робиться невиро... 9. Реферат: Розв’язування нерівностей Основні поняття ), називаються нерівностями. . Нерівності бувають числові і буквені. Числовими називають такі нерівності, обидві частини яких є числа, записані цифрами. Якщо хоча б одна частина нерівності є буквеним виразом, така нерівність наз... 10. Реферат: Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці План • Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). • Правило Крамера. • Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці. • Метод Гауса. • Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР. • Теорема Кронекера Капеллі. • Однорідні системи. 4....
11. Реферат: Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь
План · Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). · Правило Крамера. · Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці. · Метод Гауса. · Знаходження невід’ємних розв’язків СЛАР. · Теорема Кронекера Капеллі. · Однорідні систе... 12. Реферат: Розгляд мотивації як ключової функції управління в соціально орієнтованому суспільстві Говорячи про управління, необхідно мати на увазі, що в центрі управлінської діяльності завжди стоїть людина. Людина управляє, людиною управляють і саме управління покликане оптимізувати процеси, які здійснюються для більш раціонального задоволення по... 13. Реферат: Розгром Київського єпархіального управління 1923 року Динаміка більшовицького наступу на Церкву простежується за будь-яким показником. Одним із найвиразніших можна вважати боротьбу довкола церковного управління. Розпочавши утискування й нищення Церкви буквально з перших тижнів свого існування, більшови... 14. Реферат: Розгром Японії Розгром Японії Причини вступу СРСР у війну з Японією: - Японія була союзником Німеччини і заздалегідь готувалася до війни з СРСР на боці Німеччини. Лише перемоги ЧА під Москвою та Сталінградом відсунули термін нападу Японії на СРСР; - Японія... 15. Реферат: Роздержавлення і приватизація “Концепція переходу Української РСР до ринкової економіки” декларувала проведення роздержавлення і приватизації. Декларувалось, що роздержавлення здійснюється “з метою забезпечення дії на ринку України великої кількості самостійних, вільних, екон... 16. Реферат: Роздільна здатність План Вступ 1. Роздільна здатність моніторів 2. Роздільна здатність принтерів 3. (Просторова) роздільна здатність (растрового) зображення. 4. Колірна роздільна здатність зображення. 5. Співвідношення роздільної здатності та об'єму файлу. ... 17. Реферат: Роздільна здатність моніторів, принтерів, сканерів Цифрова апаратура, призначена для відтворення зображень, подає зображення у виді чорно-білих або кольорових точок, які називають пікселами або мінімальними елементами зображення. Вони розташовані так близько одне до одного, що наше сприйняття зли... 18. Реферат: Роздроблення Київської Русі Роздробленiсть Київської держави: Самостiйнi землi-князiвства, Золотоординське панування(12-13ст.) Українська народнiсть.Пiвденно-захiднi землi-князiвства на територiї України Вiдособленiсть української народностi.Власна етнiчна н... 19. Реферат: Роздумайте над цим - це справа життя! Сон Божої матері Пресвятої Богородиці і Пріснодіви Марії. Пресвята Богородиця в святій святині на святій горі у вертепі над святою річкою Йорданією в святім городі Вифлиєєемі Іюдейськім в місяці березні, тринадцятого числа. Лягала Владичиця спати... 20. Реферат: Розкpиття загальнолюдських і моpальних цінностей у новелах Гpигоpія Косинки Загальнолюдські цінності: добpо, моpаль, спpаведливість... Саме пpагнучи підняти їх, Гpигоpій Косинка у своїх новелах показав pадощі, болі, пpагнення укpаїнського наpоду, його стpаждання. Захист пpава особистості на щастя - це одна із основ г... 21. Реферат: Розклад вектора за базисом Означення 8. Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, к... |
|