Поверхні обертання. Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди). - реферат українською
План
· Поверхні обертання.
· Циліндричні поверхні.
· Конічні поверхні.
· Еліпсоїд.
· Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди.
· Еліптичний та гіперболічний параболоїди.
3.7. Поверхні другого порядку
Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне рівняння такої поверхні має вигляд:
Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії.
3.7.1. Поверхні обертання
Поверхня , утворена від обертання деякої плоскої лінії , що лежить в площині яка проходить через пряму , навколо цієї прямої, називається поверхнею обертання. Пряма називається віссю обертання. Кожна точка лінії при цьому опише коло (рис.3.25).
Виберемо прямокутну (не обов’язково прямокутну) декартову систему координат причому вісь направимо вздовж а вісь помістимо в площині Нехай лінія від обертання якої одержана поверхня, має в цій системі координат рівняння
Розглянемо точку Через неї проходить коло, яке має центр на осі і лежить в площині, що
перпендикулярна цій осі
Радіус кола дорівнює віддалі від до осі, тобто Точка лежить на поверхні обертання тоді і тільки тоді, коли на даному колі буде точка що належить лінії
Точка лежить в площині , тому Крім того, і оскільки точка лежить на колі, що проходить через Координати точки задовольняють рівнянню лінії Підставляючи в це рівняння і , ми отримаємо необхідну і достатню умову того, що точка лежить на поверхні
Рівняння є рівнянням поверхні обертання лінії навколо осі
3.7.2. Конічні поверхні
Розглянемо на площині пару прямих, що перетинаються і які мають в системі координат рівняння Поверхня обертання цієї лінії навколо осі згідно формули має рівняння
і носить назву прямого кругового конуса
Стиск (або розтяг ) по осі переводить прямий круговий конус в поверхню з рівнянням
яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що проходять через початок координат. Переріз конуса
площинами , що перпендикулярні осі представляють собою еліпси
3.7.3. Еліпсоїд
Розглянемо поверхню, утворену від обертання еліпса навколо осі Така поверхня називається еліпсоїдом обертання, рівняння якої . Якщо кожну точку на еліпсоїді обертання зсунемо до площини то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має вигляд
Еліпсоїд представляє собою замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери
3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди
При обертанні гіперболи навколо осі (яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання
В результаті стиску цієї поверхні по осі ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом . рівняння цієї поверхні має вигляд
Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходять дві прямі (прямолінійні твірні)
Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на , отримаємо тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда . А це значить, що всі точки прямих ліній при всеможливих значеннях і лежать на однопорожнинному гіперболоїді.
Такі ж міркування можна провести і для сімейства прямих
Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.
Якщо обертати гіперболу навколо осі (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні
В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням
Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом . Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою частини поверхні.
3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди
При обертанні параболи навколо її осі симетрії отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання. Її рівняння
Стискаючи її до площини параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням
Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом Відмітимо, що перерізи еліптичного параболоїда площинами, що перпендикулярні осі представляють собою еліпси, а площинами, що паралельні площинам та параболи.
Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі координат рівняння
· Поверхні обертання.
· Циліндричні поверхні.
· Конічні поверхні.
· Еліпсоїд.
· Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди.
· Еліптичний та гіперболічний параболоїди.
3.7. Поверхні другого порядку
Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне рівняння такої поверхні має вигляд:
Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії.
3.7.1. Поверхні обертання
Поверхня , утворена від обертання деякої плоскої лінії , що лежить в площині яка проходить через пряму , навколо цієї прямої, називається поверхнею обертання. Пряма називається віссю обертання. Кожна точка лінії при цьому опише коло (рис.3.25).
Виберемо прямокутну (не обов’язково прямокутну) декартову систему координат причому вісь направимо вздовж а вісь помістимо в площині Нехай лінія від обертання якої одержана поверхня, має в цій системі координат рівняння
Розглянемо точку Через неї проходить коло, яке має центр на осі і лежить в площині, що
перпендикулярна цій осі
Радіус кола дорівнює віддалі від до осі, тобто Точка лежить на поверхні обертання тоді і тільки тоді, коли на даному колі буде точка що належить лінії
Точка лежить в площині , тому Крім того, і оскільки точка лежить на колі, що проходить через Координати точки задовольняють рівнянню лінії Підставляючи в це рівняння і , ми отримаємо необхідну і достатню умову того, що точка лежить на поверхні
Рівняння є рівнянням поверхні обертання лінії навколо осі
3.7.2. Конічні поверхні
Розглянемо на площині пару прямих, що перетинаються і які мають в системі координат рівняння Поверхня обертання цієї лінії навколо осі згідно формули має рівняння
і носить назву прямого кругового конуса
Стиск (або розтяг ) по осі переводить прямий круговий конус в поверхню з рівнянням
яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що проходять через початок координат. Переріз конуса
площинами , що перпендикулярні осі представляють собою еліпси
3.7.3. Еліпсоїд
Розглянемо поверхню, утворену від обертання еліпса навколо осі Така поверхня називається еліпсоїдом обертання, рівняння якої . Якщо кожну точку на еліпсоїді обертання зсунемо до площини то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має вигляд
Еліпсоїд представляє собою замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери
3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди
При обертанні гіперболи навколо осі (яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання
В результаті стиску цієї поверхні по осі ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом . рівняння цієї поверхні має вигляд
Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходять дві прямі (прямолінійні твірні)
Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на , отримаємо тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда . А це значить, що всі точки прямих ліній при всеможливих значеннях і лежать на однопорожнинному гіперболоїді.
Такі ж міркування можна провести і для сімейства прямих
Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.
Якщо обертати гіперболу навколо осі (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні
В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням
Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом . Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою частини поверхні.
3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди
При обертанні параболи навколо її осі симетрії отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання. Її рівняння
Стискаючи її до площини параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням
Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом Відмітимо, що перерізи еліптичного параболоїда площинами, що перпендикулярні осі представляють собою еліпси, а площинами, що паралельні площинам та параболи.
Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі координат рівняння
Скачати реферат Поверхні обертання. Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Побутова хімія План 1. Класифікація товарів побутової хімії. 2. Клеї. 2.1. Асортимент клеїв. 2.2. Якість клеїв. 3. Абразивні товари. 3.1. Асортимент абразивних товарів. 3.2. Якість абразивних товарів. 4. Засоби для прання та миття. 4.1. ... 2. Реферат: Побутові небезпеки Найбільше небезпек, в тому числі і побутових, оточує сучасну людину в техногенному середовищі. Техногенне середовище, як правило, поділяють на побутове та виробниче. Побутове середовище — це середовище проживання людини, що містить сукупність житл... 3. Реферат: Побутові танці Окресливши історію, розвиток тематики й музики хороводів, перейдемо до розгляду побутових українських танців. Аналізуючи кожен з наведених нижче видів побутових танців, простежимо такі їхні критерії: 1. Зміст. 2. Лексика. 3. Композиція. 4... 4. Реферат: Поведінка в екстремальних ситуаціях на підприємстві В умовах сучасного виробництва окремі приватні заходи щодо поліпшення умов праці, для попередження травматизації є неефективними. Тому їх здійснюють комплексно, створюючи в загальній системі керування виробництвом, підсистему керування безпекою праці... 5. Реферат: Поведінка колективу під час перевірки підприємства контролюючими органами Аби податкова перевірка не завдала матеріальних збитків і, що важливо, морального збитку (втрата ділової репутації, неотримані прибутки тощо), підприємцеві не досить бути юридично грамотним — наприклад, знати хто може перевіряти, підстави для проведе... 6. Реферат: Поведінка людей у надзвичайних ситуаціях. Медична допомога при психоемо-ційних розладах (лекція) Лекція Поведінка людей у надзвичайних ситуаціях. Медична допомога при психоемоційних розладах 1. Психофізіологічні аспекти стану людей у вогнищах НС. Якби була можливість наочно порівняти сучасну людину з людьми, які жили 20-30 тис. років тому, ... 7. Реферат: Поведінка споживача у ринковій економіці Поведінка споживача у ринковій економіці Зміст Вступ Теорія поведінки споживача. Мета, обмеження та споживчий вибір 2.1. Мета споживача. Кардиналістська модель 2.2. Мета споживача. Ординалістська модель 2.3. Бюджетне обмеження спожи... 8. Реферат: Повернення наукової спадщини Івана Орлая Проф. Д. Данилюк поставив на новий рівень вивчення історії нашого краю, що є дуже важливим для кожної глибоко мислячої людини, якій не байдуже минуле свого народу. Приємно відзначити, що пропонована читачеві книга – це доопрацьований, доповнений в... 9. Реферат: Поверхневі електромагнітні хвилі в напівпровідникових кристалах План. 1. Вступ. 2. Теорія оптичних констант. 3. Що таке “Поверхневий поляритон”. 4. Основи методу ППВВ. 5. Дослідження структури ZnO на сафірі методами ІЧ спектроскопії. 6. Поверхневі поляритони в стуктурі ZnO на сафірі. 7. Висно... 10. Реферат: Поверхні другого порядку Поняття поверхні другого порядку Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду ах2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz+l=0, (1) де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний ві...
11. Реферат: Поверхні обертання. Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).
План · Поверхні обертання. · Циліндричні поверхні. · Конічні поверхні. · Еліпсоїд. · Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди. · Еліптичний та гіперболічний параболоїди. 3.7. Поверхні другого порядку Розглянем... 12. Реферат: Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку План • Поверхні обертання. • Циліндричні поверхні. • Конічні поверхні. • Еліпсоїд. • Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди. • Еліптичний та гіперболічний параболоїди. 3.7. Поверхні другого порядку Розглянемо алгебраї... 13. Реферат: Повідомлення брокера (бланк) Повідомлення № Брокер повідомляє Клієнта (Код ________), що за його заявою № ____ від "_____"_______199___р. відбулася операція на УФБ. 1. Номер реєстрації операції _________________________________________________. 2. Дата реєстрації ... 14. Реферат: Повідомлення про погашення заборгованості (бланк) __________________________________________________ ______________________________ (найменування органу (найменування підприємства, Пенсійного фонду) установи, організації -боржника) «____»________________ 199___р. Повідомляємо,... 15. Реферат: Повідомлення, доповідь, промова як способи ділового спілкування 1. Роль повідомлення у процесі обміну інформацією Повідомлення – це спосіб спілкування, який використовується для обміну інформацією. У процесі передавання інформації координуються дії окремої особи або групи людей з діями інших осіб. Факт обміну ... 16. Реферат: Повільні хвилі Для багатьох електричних приладів необхідно отримати хвилю, що рухається зі швидкістю . Це зокрема стосується приладів, у яких відбувається передача енергії та інформації від хвилі іншим носіям. Однак, згідно Ейнштейну, хвилі у вакуумі рухаються зі ... 17. Реферат: Повість Івана Франка Перехресні стежки. Характеристика головних персонажів Реферат на тему: Повість Івана Франка Перехресні стежки. Характеристика головних персонажів "Яке ти маєш право бути вільним, коли твій народ у неволі?" В останній розмові з Євгенієм Регіна запитує його, чи правда, що завтра має відбутися "хлопс... 18. Реферат: Повість С. Васильченка «Талант» В історії української літератури Степану Васильченку відведено одне з почесних місць. Виходець з народу, письменник кінця XIX — початку XX століття Васильченко вважав за свій громадянський обов'язок боротися художнім словом за глибоку любов до людини... 19. Реферат: Повість Стругацьких "Важко бути богом". Повість Стругацьких “Важко бути богом” як антиутопія Творчість російських фантастів Аркадія і Бориса Стругацьких не належить до розважальної літератури і “легкого” чтива. Стругацькі продовжують і розвивають ту лінію наукової фантастики, котру визн... 20. Реферат: Повітряний флот Історія світової авіації тісно пов'язана з українською землею. Тут творили конструктор одного з перших літаків, що піднявся у повітря, Олександр Можайський, засновник теорії ракетобудування Микола Кибальчич, творець бойових ракет Олександр Засядько.... 21. Реферат: Повне товариство Повним товариством згідно зі ст. 66 Закону України "Про господарські товариства" визнається таке товариство, всі учасники якого займаються спільною підприємницькою діяльністю і несуть солідарну відповідальність за зобов’язаннями товариства усім своїм... |
|