ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ - реферат українською
Реферат на тему:
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну
(1)
тоді
(2)
де а 0, якщо х 0.
Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:
(3)
Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x0) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:
Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:
Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці.
Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.
Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).
Отже, маємо
dy = f'(x) · x (4)
Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.
На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:
dy = f' (x) dx (5)
Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо:
(6)
Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:
Вираз (3) можемо записати ще так:
(7)
Звідки
де Якщо х 0, то й отже, і 0.
Зауважимо, що коли в точці х0 похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).
Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.
Рис. 1
Маємо PN = y, QN = MN tg = хf'(x) = f?(x) dx = dy.
Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x0 і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х0 . Приріст функції у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x.
Формули диференціювання.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Правила диференціювання:
I.
II.
III.
IV.
Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:
Інваріантність форми диференціала.
Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.
Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то
(8)
Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'·dt.
Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо
але (9)
тому
Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).
Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:
dy = yx'dx
не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.
Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.
При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції
або (10)
якщо позначити х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд
або (11)
Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:
(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу
Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул
(наприклад ) ;
Приведемо декілька прикладів.
Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.
Приймемо за початкове значення незалежної змінної х0 = 45° = , а за х= 1° = . Тоді згідно (11)
Приклад 2) Обчислити наближено .
Розглянемо функцію і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4 , а за х = -0,0022. Тоді
Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну
(1)
тоді
(2)
де а 0, якщо х 0.
Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:
(3)
Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x0) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:
Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:
Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці.
Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.
Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).
Отже, маємо
dy = f'(x) · x (4)
Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.
На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:
dy = f' (x) dx (5)
Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо:
(6)
Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:
Вираз (3) можемо записати ще так:
(7)
Звідки
де Якщо х 0, то й отже, і 0.
Зауважимо, що коли в точці х0 похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).
Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.
Рис. 1
Маємо PN = y, QN = MN tg = хf'(x) = f?(x) dx = dy.
Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x0 і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х0 . Приріст функції у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x.
Формули диференціювання.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Правила диференціювання:
I.
II.
III.
IV.
Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх:
Інваріантність форми диференціала.
Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.
Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то
(8)
Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '·dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'·dt.
Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо
але (9)
тому
Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).
Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:
dy = yx'dx
не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.
Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.
При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції
або (10)
якщо позначити х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд
або (11)
Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:
(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу
Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул
(наприклад ) ;
Приведемо декілька прикладів.
Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.
Приймемо за початкове значення незалежної змінної х0 = 45° = , а за х= 1° = . Тоді згідно (11)
Приклад 2) Обчислити наближено .
Розглянемо функцію і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4 , а за х = -0,0022. Тоді
Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.
Скачати реферат ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Дисонанси сонячного і місячного циклів Правило, яке визначає дату Пасхи для конкретно взятого року, дуже просте й очевидне. Усі проблеми, що привели до реформи календаря 1582 p., обумовлені намаганням «пов’язати навічно» два взаємно незалежних явища - повторення моменту весни і конкретно... 2. Реферат: Дисперсійний аналіз економетричної моделі Побудова економетричної моделі на основі покрокової регресії Оцінювання параметрів економетричної моделі та її дисперсійний аналіз становлять загальний процес побудови моделі. Поєднання цих частин зумовило появу альтернативного методу оцінювання па... 3. Реферат: Диспозитивність у визначенні порядку та способів відшкодування завданої злочином шкоди при звільненні від кримінальної відповідальності Каральний підхід до вирішення проблем злочинності не завжди ефективний. Останнім часом деякі науковці дедалі частіше говорять про “кризу покарання”, про необхідність ширшого застосування так званого “відновлюваного правосуддя”, суттю якого є не л... 4. Реферат: Дитина та її права Організація Об’єднаних Націй займається найрізноманітнішими видами діяльності, спрямованими на організацію однієї з найголовніших цілей – заохочення і захист прав людини. Величезне значення має складний механізм, створений у відповідності до різних ... 5. Реферат: Дитяча гінекологія ОРГАНІЗАЦІЯ ГІНЕКОЛОГІЧНОЇ ДОПОМОГИ ДІТЯМ Основним завданням дитячої гінекології є профілактика гінекологічних захворювань у дівчаток, активне виявлення дівчаток-підлітків, що страждають на захворювання статевих органів, санітарно-освітня робота се... 6. Реферат: Дитячий травматизм, його профілактика та реабілітація засобами фізичного виховання Серед причин погіршення стану здоров’я дітей і підлітків поколінь виділяють, у першу чергу, невпинне забруднення навколишнього середовища, зростання рівня дитячого травматизму, недосконалість існуючої системи охорони здоров’я, гіпокінезію, соціаль... 7. Реферат: Дитячий хрестовий похід 1212 року Спекотливим посушливим літом 1212 р. сталася подія, що увійшла в історію як дитячий хрестовий похід. Хроністи XIII ст. обійшли своєю увагою цю трагічну сторінку середньовіччя. Історики більш пізньої доби вбачали у дитячому хрестовому поході лише безг... 8. Реферат: Дитячі передачі і державна мова Існування України як самостійної держави можливе лише за умови проживання у ній сорокап’ятимільйонного національно налаштованого населення. Проживання в країні національно налаштованих громадян закономірне явище для держав, самостійність яких триває... 9. Реферат: Дитячі притулки Деякі люди і нині вражено дивуються: «Невже у нас є дитячі притулки?» Поняття «притулок» чомусь у декого досі асоціюється з чимось далеким, зжитим, майже літературно-міфічним. При цьому присутність на вулицях і ринках дітей-прошаків якщо когось і шок... 10. Реферат: Диференціал План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Достатні умови диференційованості функції. Рівняння дотичної площини до поверхні...
11. Реферат: ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Реферат на тему: ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну (1) тоді (2) де а 0, якщо х 0. Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо: (3) Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 т... 12. Реферат: Диференціал функції однієї змінної Означення диференціалу функції існує і дорівнює скінченному числу. ). , дістанемо . (4.8) . називається диференціалом функції у = f (х); його позначають символом dy, тобто (4.9) . З огляду на це формулу для диференціала (4.9) мо... 13. Реферат: Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту функції і пр... 14. Реферат: Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції , їх диференціювання План • Диференціал функції. • Геометричний зміст диференціала. • Лінеаризація функції. • Диференціал складної функції. • Повний диференціал функції декількох змінних. • Достатні умови диференційованості функції. • Рівняння дотичної площи... 15. Реферат: Диференціальне рівняння ПЛАН 1. Основи означення. 2. Диференціальні рівняння І порядку. 3. Задача Коші. 4. Теорема існування та єдності розв'язку. 5. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.... 16. Реферат: Диференціальне числення Функції. Область визначення. Елементарні функції. Означення функції Зауваження 1. Теорема 3 (п.2.2) стверджує існування визначеного інтеграла від Кусково-неперервної функції, яка має скінченне число точок розриву першого роду. Обчислення інтеграла від такої функції можна провести на основі властивостей інтеграла 40 і... 17. Реферат: Диференціальне числення. Теореми про диференціальні функції Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані функції f(x), ?(x). Причому f(а) = ?(а) = 0. Тоді в разі існування границі відношення похідних цих функцій при х ? а існує і границя відношення самих функцій при х ? а: (1) ... 18. Реферат: Диференціальне числення. Функції. Область визначення. Елементарні функції. Означення функції ПЛАН 1. Область визначення. 2. Способи задання функції. Рис. 1. Зауваження 1. Теорема 3 (п.2.2) стверджує існування визначеного інтеграла від Кусково-неперервної функції, яка має скінченне число точок розриву першого роду. Обчислення інте... 19. Реферат: Диференціальні рівняння План 1. Вступ 1. Поява диференціальних рівнянь 2. Історична довідка 2. Основна частина І Рівняння показового росту 1. Швидкість прямолінійного руху 2. Радіоактивний розпад 3. Поглинання світла 4. Концентрація розчину ІІ... 20. Реферат: Диференціальні рівняння вищих порядків Реферат на тему: Диференціальні рівняння вищих порядків 1 Основні поняття та означення Диференційне рівняння n-го порядку не розв’язані відносно похідної має вигляд: F(x,y,y`,…,y(n-1)) (1) А розв’язане відносно y(n) має форму... 21. Реферат: Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної Реферат на тему: Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної 1. Рівняння Рікатті. Рівняння Рікатті має вигляд , (1) де P(x), Q(x), R(x) – визначені неперервні на (a,b) . Причому R(x) 0 і P(x) 0 ... |
|