Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння - реферат українською
Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння
записано у вигляді.
Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння
шукаємо у вигляді, де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку
і зажадаємо, щоб. Розглянемо другу похідну
і зажадаємо, щоб. Продовжимо процес взяття похідних до -ї
і зажадаємо, щоб. На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо
.
Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння
Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову
Додаючи перші - умови, одержимо систему
Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок
І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді
де - довільні сталі, а
Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку
і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд, то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд. І для знаходження функцій маємо систему
І одержуємо з обчисленими функціями і.
записано у вигляді.
Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння
шукаємо у вигляді, де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку
і зажадаємо, щоб. Розглянемо другу похідну
і зажадаємо, щоб. Продовжимо процес взяття похідних до -ї
і зажадаємо, щоб. На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо
.
Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння
Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову
Додаючи перші - умови, одержимо систему
Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок
І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді
де - довільні сталі, а
Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку
і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд, то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд. І для знаходження функцій маємо систему
І одержуємо з обчисленими функціями і.
Скачати реферат Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: МЕТАФІЗИКА АБСУРДУ ТА ЕТИКА ТРАГІЧНОГО СТОЇЦИЗМУ Мета уроку: розглянути міфічно багатоплановий образ чуми в романі; обговорити антифашистський і екзистенціальний смисл роману; активізувати інтелектуальну та пізнавальну діяльність учнів; виховувати інтерес до вивчення філософських поглядів письменни... 2. Реферат: МЕТАФІЗИКА АБСУРДУ ТА ЕТИКА ТРАГІЧНОГО СТОЇЦИЗМУ В РОМАНІ АЛЬБЕР А КАМЮ «ЧУМА» Мета уроку: розглянути міфічно багатоплановий образ чуми в романі; обговорити антифашистський і екзистенціальний смисл роману; активізувати інтелектуальну та пізнавальну діяльність учнів; виховувати інтерес до вивчення філософських поглядів письменни... 3. Реферат: МЕТАФІЗИКА СВОБОДИ Антитеза свободи і природи - центральна ідея філософії Канта, пряме вираження постулюючої нею роздвоєності всього існуючого на світ уявлення, сукупність яких утворює природу, і на його першооснову - світ “речей в собі”, що перебуває по ту сторону кат... 4. Реферат: Метафора - чинник розвитку творчості у старшокласників МЕТАФОРА - ЧИННИК РОЗВИТКУ ТВОРЧОСТІ СТАРШОКЛАСНИКІВ Колись німецький поет Ф.Шіллер, зіставляючи два віки людини - юність і старість, писав, що “з тисячею гордих вітрил рушає у море юнак, - ветхим суденцем старим до берега править дідусь”. Творчі м... 5. Реферат: Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко Теорія метафори ґрунтовно розроблена світовою літературно-теоретичною наукою, над її проблемами працювало багато відомих теоретиків літератури від античності до наших днів, знаходячи все нові й нові грані цього тропа. Для уточнення художніх функці... 6. Реферат: Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко. Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко Теорія метафори ґрунтовно розроблена світовою літературно-теоретичною наукою, над її проблемами працювало багато відомих теоретиків літератури від античності до наших днів, знаходячи все нові ... 7. Реферат: Метафоричні транспозиції: загальновживане слово та медичний термін Метафора – це універсальний інструмент мислення, який передбачає пізнання одного об'єкта через порівняння, зіставлення з іншим і є одним із способів репрезентації знання в мовній формі. Як відомо, раціональне мислення значною мірою спирається на м... 8. Реферат: Метод i методологiчне дослiдження в науці Коли доведення геометричної теореми у давнiх грекiв виявлялося настiльки очевидним та ясним, що полягало, для прикладу, у проведеннi всього лише однiєї (додаткової) лiнiї на геометричному кресленнi, то вони в таких випадках без якихось додатков... 9. Реферат: Метод i методологiчне дослiдження Коли доведення геометричної теореми у давнiх грекiв виявлялося настiльки очевидним та ясним, що полягало, для прикладу, у проведеннi всього лише однiєї (додаткової) лiнiї на геометричному кресленнi, то вони в таких випадках без якихось додаткових слi... 10. Реферат: Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності, де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним д...
11. Реферат: Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння
Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння зап... 12. Реферат: Метод виділення лінійних множників Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку і самий визначник є многочленом від цих змінних. В основі метода знаходяться наступні відомі властивості многочленів 1) ... 13. Реферат: Метод динамічних груп у педагогіці Визначною особливістю сучасності є розвиток інформаційних технологій, бурхливе нагромадження, безперервне оновлення, ускладнення наукової інформації, вторгнення її в усі сфери життя та діяльності людини. Нині неможливо не навчатися протягом життя в б... 14. Реферат: Метод зведення визначника до трикутного вигляду Метод зведення визначника до трикутного вигляду Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку ел... 15. Реферат: Метод і методичні прийоми аудиту У загальному вигляді метод будь-якої науки — це спосіб дослідження явищ, процесів, систем тощо В основі дослідження складних систем, до яких належить аудит, лежить діалектичний метод Він передбачає вивчення явищ у природі і суспільстві у взаємозв'яз... 16. Реферат: Метод інструментальних змінних Властивості оцінок моделі при стохастичних змінних У попередніх розділах, розглядаючи модель , і що всі ці змінні розподілені незалежно від залишків u, переважна більшість цих результатів виконуватиметься і для тих економетричних моделей, які ... 17. Реферат: Метод Коші Нехай - розв’язок однорідного диференціального рівняння, що задовольняє умовам Тоді функція буде розв’язком неоднорідного рівняння, що задовольняє початковим умовам.Дійсно, розглянемо похідні від функції: І, оскільки, то. Аналогічно І, ос... 18. Реферат: Метод магнітної стінки Він застосовується при аналізі діелектричних резонаторів. Обернена ситуація – хвиля виходить з металу (або діелектрика) в вакуум. Зліва – стояча хвиля, справа – біжуча, звичайна, зі сталою амплітудою. Тільки таким чином можна досягти виконан... 19. Реферат: Метод орієнтованих графів Реферат на тему: Метод орієнтованих графів. Можна виключити вершину . Для цього стрілки продовжують так, ніби вузла і не було. В діамагнетику вказується - коефіцієнт при виключеній вершині. Задача: Знайти за допомогою орієнтованих графів... 20. Реферат: Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції Зміст Вступ 3 Основна частина 5 І Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії 5 Приклад 1.1. Момент інерції стержня 5 Приклад 1.2. Момент інерції тонкого кільця 5 ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких р... 21. Реферат: Метод розкладу визначника в суму визначників В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядо... |
|