Метод зведення визначника до трикутного вигляду - реферат українською
Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.
= a11a22…ann
Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник складається лише з одного добутку елементів побічної діагоналі. Знак при цьому добутку визначається як , де n – порядок визначника.
= a1na2,n-1…an1
Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.
Нехай задано визначник n–го порядку загального вигляду.
Будемо зводити цей визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Якщо всі елементи першого стовпчика дорівнюють нулю, то = 0. В супротивному випадку будемо вважати, що a11 0 (інакше знаходимо в першому стовпчику ненульовий елемент і рядок, в якому він знаходиться, додамо до першого рядка). Будемо перетворювати визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи першого стовпчика, крім першого, дорівнюють 0. Для цього віднімемо від другого рядка перший, помножений на число . Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімемо перший, помножений на число Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника . Одержуємо визначник
Якщо в цьому визначнику всі елементи b22, b32,…,bn2 дорівнюють 0, то = 0. Дійсно, якщо розкласти в такому випадку визначник за елементами першого стовпчика, одержуємо , де A11 – алгебраїчне доповнення елемента a11; A11 = (-1)1+1M11 де M11 – доповнюючий мінор елемента a11; M11 – визначник порядку n-1, перший стовпчик якого нульовий, тому M11 = 0, звідки A11 = 0 і = 0. Тому далі будемо вважати, що серед елементів b22, b32,…,bn2 є ненульові, а тоді можна вважати b22 0 (в супротивному випадку можна до другого рядка додати деякий рядок, що стоїть після нього і другий елемент якого не дорівнює нулю). Далі перетворюємо визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи другого стовпчика, починаючи з третього, дорівнюють нулю. Для цього спочатку від третього рядка віднімаємо другий, помножений на число . Далі, аналогічно, від четвертого рядка віднімемо другий, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімаємо другий, помножений на . Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник
Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку
причому x11= a11 0, x22= b22 0, x33= c33 0,…, xnn 0. Отже,
= x11x22x33...xnn
Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.
Приклад 1. Обчислити визначник
Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:
Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:
У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.
У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4
У даному визначнику четвертий елемент четвертого стовпчика не дорівнює нулю. Тому можна від п’ятого рядка відняти четвертий, помножений на і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі
На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника
відніманням від п’ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п’ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:
Нарешті до п’ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:
Таким чином,
Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.
= a11a22…ann
Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник складається лише з одного добутку елементів побічної діагоналі. Знак при цьому добутку визначається як , де n – порядок визначника.
= a1na2,n-1…an1
Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.
Нехай задано визначник n–го порядку загального вигляду.
Будемо зводити цей визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Якщо всі елементи першого стовпчика дорівнюють нулю, то = 0. В супротивному випадку будемо вважати, що a11 0 (інакше знаходимо в першому стовпчику ненульовий елемент і рядок, в якому він знаходиться, додамо до першого рядка). Будемо перетворювати визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи першого стовпчика, крім першого, дорівнюють 0. Для цього віднімемо від другого рядка перший, помножений на число . Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімемо перший, помножений на число Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника . Одержуємо визначник
Якщо в цьому визначнику всі елементи b22, b32,…,bn2 дорівнюють 0, то = 0. Дійсно, якщо розкласти в такому випадку визначник за елементами першого стовпчика, одержуємо , де A11 – алгебраїчне доповнення елемента a11; A11 = (-1)1+1M11 де M11 – доповнюючий мінор елемента a11; M11 – визначник порядку n-1, перший стовпчик якого нульовий, тому M11 = 0, звідки A11 = 0 і = 0. Тому далі будемо вважати, що серед елементів b22, b32,…,bn2 є ненульові, а тоді можна вважати b22 0 (в супротивному випадку можна до другого рядка додати деякий рядок, що стоїть після нього і другий елемент якого не дорівнює нулю). Далі перетворюємо визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи другого стовпчика, починаючи з третього, дорівнюють нулю. Для цього спочатку від третього рядка віднімаємо другий, помножений на число . Далі, аналогічно, від четвертого рядка віднімемо другий, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімаємо другий, помножений на . Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник
Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку
причому x11= a11 0, x22= b22 0, x33= c33 0,…, xnn 0. Отже,
= x11x22x33...xnn
Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.
Приклад 1. Обчислити визначник
Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:
Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:
Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:
У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.
У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4
У даному визначнику четвертий елемент четвертого стовпчика не дорівнює нулю. Тому можна від п’ятого рядка відняти четвертий, помножений на і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі
На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника
відніманням від п’ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п’ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:
Нарешті до п’ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:
Таким чином,
Скачати реферат Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Метафора - чинник розвитку творчості у старшокласників МЕТАФОРА - ЧИННИК РОЗВИТКУ ТВОРЧОСТІ СТАРШОКЛАСНИКІВ Колись німецький поет Ф.Шіллер, зіставляючи два віки людини - юність і старість, писав, що “з тисячею гордих вітрил рушає у море юнак, - ветхим суденцем старим до берега править дідусь”. Творчі м... 2. Реферат: Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко Теорія метафори ґрунтовно розроблена світовою літературно-теоретичною наукою, над її проблемами працювало багато відомих теоретиків літератури від античності до наших днів, знаходячи все нові й нові грані цього тропа. Для уточнення художніх функці... 3. Реферат: Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко. Метафора, її різновиди та функції в ліриці Ліни Костенко Теорія метафори ґрунтовно розроблена світовою літературно-теоретичною наукою, над її проблемами працювало багато відомих теоретиків літератури від античності до наших днів, знаходячи все нові ... 4. Реферат: Метафоричні транспозиції: загальновживане слово та медичний термін Метафора – це універсальний інструмент мислення, який передбачає пізнання одного об'єкта через порівняння, зіставлення з іншим і є одним із способів репрезентації знання в мовній формі. Як відомо, раціональне мислення значною мірою спирається на м... 5. Реферат: Метод i методологiчне дослiдження в науці Коли доведення геометричної теореми у давнiх грекiв виявлялося настiльки очевидним та ясним, що полягало, для прикладу, у проведеннi всього лише однiєї (додаткової) лiнiї на геометричному кресленнi, то вони в таких випадках без якихось додатков... 6. Реферат: Метод i методологiчне дослiдження Коли доведення геометричної теореми у давнiх грекiв виявлялося настiльки очевидним та ясним, що полягало, для прикладу, у проведеннi всього лише однiєї (додаткової) лiнiї на геометричному кресленнi, то вони в таких випадках без якихось додаткових слi... 7. Реферат: Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності, де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним д... 8. Реферат: Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння зап... 9. Реферат: Метод виділення лінійних множників Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку і самий визначник є многочленом від цих змінних. В основі метода знаходяться наступні відомі властивості многочленів 1) ... 10. Реферат: Метод динамічних груп у педагогіці Визначною особливістю сучасності є розвиток інформаційних технологій, бурхливе нагромадження, безперервне оновлення, ускладнення наукової інформації, вторгнення її в усі сфери життя та діяльності людини. Нині неможливо не навчатися протягом життя в б...
11. Реферат: Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Метод зведення визначника до трикутного вигляду Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку ел... 12. Реферат: Метод і методичні прийоми аудиту У загальному вигляді метод будь-якої науки — це спосіб дослідження явищ, процесів, систем тощо В основі дослідження складних систем, до яких належить аудит, лежить діалектичний метод Він передбачає вивчення явищ у природі і суспільстві у взаємозв'яз... 13. Реферат: Метод інструментальних змінних Властивості оцінок моделі при стохастичних змінних У попередніх розділах, розглядаючи модель , і що всі ці змінні розподілені незалежно від залишків u, переважна більшість цих результатів виконуватиметься і для тих економетричних моделей, які ... 14. Реферат: Метод Коші Нехай - розв’язок однорідного диференціального рівняння, що задовольняє умовам Тоді функція буде розв’язком неоднорідного рівняння, що задовольняє початковим умовам.Дійсно, розглянемо похідні від функції: І, оскільки, то. Аналогічно І, ос... 15. Реферат: Метод магнітної стінки Він застосовується при аналізі діелектричних резонаторів. Обернена ситуація – хвиля виходить з металу (або діелектрика) в вакуум. Зліва – стояча хвиля, справа – біжуча, звичайна, зі сталою амплітудою. Тільки таким чином можна досягти виконан... 16. Реферат: Метод орієнтованих графів Реферат на тему: Метод орієнтованих графів. Можна виключити вершину . Для цього стрілки продовжують так, ніби вузла і не було. В діамагнетику вказується - коефіцієнт при виключеній вершині. Задача: Знайти за допомогою орієнтованих графів... 17. Реферат: Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції Зміст Вступ 3 Основна частина 5 І Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії 5 Приклад 1.1. Момент інерції стержня 5 Приклад 1.2. Момент інерції тонкого кільця 5 ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких р... 18. Реферат: Метод розкладу визначника в суму визначників В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядо... 19. Реферат: Метод у структурі пізнавальної діяльності людини Метод, органічно вплетений в окремий акт пізнання, дозволяє визначити предмет вивчення, конкретизувати проблему, знайти шлях дослідження. Це зумовлено тим, що в цьому випадку методом служать раніше накопичені знання. Здатність знань виконувати роль м... 20. Реферат: Метод управлінського обліку В сучасний період у вітчизняному обліку відсутнє визначення методу управлінського обліку. Єдині визначання дано у підручнику Т.П. Карлової “Управлінський облік”: “Методом управлінського обліку, є сукупність різноманітних прийомів, способів, з допо... 21. Реферат: Методи і засоби навчання 1. Поняття про методи навчання і їх класифікації. 2. Методи організації і здійснення навчально-пізнавальної діяльності. 3. Засоби навчанняю 4. Вибір оптимального поєднання методів і засобів навчання. 1. Методом навчання... |
|