Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники. - реферат українською
Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.
1. Комплексні числа
1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа
Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.
Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо Звідси. Величина називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :
де - ціле додатне число.
Числа вигляду, де - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду - комплексними, де i – дійсні числа.
Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При маємо зображення дійсного числа на осі (дійсна вісь), а при маємо зображення чисто уявного числа на осі (уявна вісь). Площина називається комплексною. Кожній точці на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу відповідає одна й тільки одна точка комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор
Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.
Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа і рівні тоді і тільки тоді,коли і.
Приклад. За яких умов комплексні
Р о з в ’ я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і
Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел і називається число , а їх різниця запишеться так: .
Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів.
б). Множення двох комплексних чисел і здійснюється так само, як і множення двочленів:
Числа вигляду і називаються комплексно
спряженими. Їх добуток є дійсне число
в). Ділення. Нехай потрібно число поділити на число,
Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.
г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів за формулами, де ціле додатне число.
д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
Приклад. Добути квадратний корінь із числа .
Р о з в ’ я з о к. Нехай
Тоді , де і – дійсні числа. Звідси
Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо
Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.
Приклади.
10.
20.
30.
40.
50.
1.2. Тригонометрична форма комплексного числа
Сполучимо початок координат з точкою . Довжина цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -
Запис комплексного числа у вигляді називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.
Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:
Маємо:
Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.
а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.
б).Множення.
Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються.
в). Ділення.
тобто при діленні модуль діленого ділиться на модуль дільника, аргумент дільника віднімається від аргументу діленого.
г). Піднесення до цілого додатного степеня. Користуючись правилом множення комплексних чисел, легко довести методом повної математичної індукції, що
1. Комплексні числа
1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа
Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.
Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо Звідси. Величина називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :
де - ціле додатне число.
Числа вигляду, де - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду - комплексними, де i – дійсні числа.
Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При маємо зображення дійсного числа на осі (дійсна вісь), а при маємо зображення чисто уявного числа на осі (уявна вісь). Площина називається комплексною. Кожній точці на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу відповідає одна й тільки одна точка комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор
Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.
Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа і рівні тоді і тільки тоді,коли і.
Приклад. За яких умов комплексні
Р о з в ’ я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і
Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел і називається число , а їх різниця запишеться так: .
Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів.
б). Множення двох комплексних чисел і здійснюється так само, як і множення двочленів:
Числа вигляду і називаються комплексно
спряженими. Їх добуток є дійсне число
в). Ділення. Нехай потрібно число поділити на число,
Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.
г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів за формулами, де ціле додатне число.
д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
Приклад. Добути квадратний корінь із числа .
Р о з в ’ я з о к. Нехай
Тоді , де і – дійсні числа. Звідси
Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо
Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.
Приклади.
10.
20.
30.
40.
50.
1.2. Тригонометрична форма комплексного числа
Сполучимо початок координат з точкою . Довжина цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -
Запис комплексного числа у вигляді називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.
Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:
Маємо:
Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.
а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.
б).Множення.
Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються.
в). Ділення.
тобто при діленні модуль діленого ділиться на модуль дільника, аргумент дільника віднімається від аргументу діленого.
г). Піднесення до цілого додатного степеня. Користуючись правилом множення комплексних чисел, легко довести методом повної математичної індукції, що
Скачати реферат Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Комплексна оцінка кредитоспроможності клієнта Комплексна оцінка кредитоспроможності клієнта Кредитоспроможність позичальника ( це його здатність повністю і вчасно розраховуватися за своїми фінансовими зобов(язаннями. Кредитоспроможність позичальника на відміну від його платоспроможності не фік... 2. Реферат: Комплексна оцінка фінансового стану підприємства Перехід економіки України до ринку відбувається у складних умовах спаду виробництва та інфляції. Це негативно впливає на фінансові відносини підприємств, знижує можливості збільшення фінансових ресурсів і як наслідок фінансування розв’язання економіч... 3. Реферат: Комплексна підготовка виробництва до заміни продукції Лекція . План. 1.Організаційно – економічна підготовка виробництва: а) організаційна; б) економічна. 2.Організація промислового освоєння продукції. 1.Організаційно – економічна підготовка продукції. Організаційно – економічна під... 4. Реферат: Комплексна підготовка виробництва до заміни продукції (технології) План. 1.Організаційно – економічна підготовка виробництва: а) організаційна; б) економічна. 2.Організація промислового освоєння продукції. 1.Організаційно – економічна підготовка продукції. Організаційно – економічна підготовка виро... 5. Реферат: Комплексний захист ріпаку від шкідників Ріпак є джерелом рослинної олії, яку використовують у багатьох галузях промисловості, а також цінним кормом для худоби (насіння його містить 40–47% жиру, 20 — білка, 5,5–6,5% клітковини). Одержувана при переробці ріпакового насіння олія надзвичайно ... 6. Реферат: Комплексний підхід до управління якістю продукції 1. Комплексний підхід до управління якістю продукції Управління якістю продукції — це встановлення, забезпечення і дотримання необхідного рівня якості продукції при її розробці, виготовленні та експлуатації, що досягається шляхом систематичного ко... 7. Реферат: Комплексні числа Походження комплексних чисел Спочатку люди знали лише натуральні числа 1, 2, 3, …, використовувані для лічби предметів. Під час розв’язування рівнянь першого степеня виду виникли раціональні та від’ємні числа. Спочатку за використання від’ємних... 8. Реферат: Комплексні числа (лекція) .У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежетись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корень з від’їмних чисел. Але чисел, які піднесені до квадр... 9. Реферат: Комплексні числа Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Але чисел, які при піднесенні до к... 10. Реферат: Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числ. Формули Ейлера. Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємн...
11. Реферат: Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.
Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники. 1. Комплексні числа 1.1. Алгебраїчна фор... 12. Реферат: Комплексні числа. Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число. Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння мало розв’язок, необхідно ввести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша бу... 13. Реферат: Комплексність підходу вивчення предмета БЖД, зв'язок з профілюючими та іншими дисциплінами Комплексність підходу вивчення предмета БЖД, зв'язок з профілюючими та іншими дисциплінами Виходячи з сучасних уявлень, безпека життєдіяльності є багатогранним об'єктом розуміння і сприйняття дійсності, який потребує інтеграції різних стратегій, с... 14. Реферат: Комплексність підходу вивчення предмета БЖД, зв’язок з профілюючими та іншими дисциплінами Виходячи з сучасних уявлень, безпека життєдіяльності є багатогранним об'єктом розуміння і сприйняття дійсності, який потребує інтеграції різних стратегій, сфер, аспектів, форм і рівнів пізнання. Складовими цієї галузі є різноманітні науки про безпеку... 15. Реферат: Комплект зоотехнічного обладнання для молочних ферм Однією з важливих проблем, що стримують проведення цілеспрямованої широкомасштабної селекції в молочному скотарстві України, є відсутність достовірного зоотехнічного обліку на молочних фермах. Ідеться про продуктивність корів, стійкість їх до захвор... 16. Реферат: Композиційні прийоми у компонуванні маси танцюристів з солістами У багатофігурній композиції поєднання дії окремих персонажів із масою танцівників повинно природно випливати з ідейно-смислового контексту твору. У традиційній народній хореографії при виконанні солістом чергового колінця маса відігравала активну ... 17. Реферат: композиція На протязі всієї історії розвитку культури людина прагнула прикрасити своє життя, зробити красивими всі необхідні їй предмети - одяг, житло, посуд. В наш час з особливою пристрастю входять поняття, як художник і суспільство, краса і користь, творч... 18. Реферат: Композиція українського народносценічного танцю поняття композиції та архітектоніки у народносценічній хореографії Всебічне глибоке розкриття поняття композиції сучасної народносценічної хореографії передбачає ґрунтовне висвітлення цілого ряду найважливіших проблем, зокрема: основного закону побудови хореографічної композиції; соціально-історичної обумовленості і... 19. Реферат: Компоненти ракетних палив (КРП) Широке застосування в Збройних Силах ракетної техніки поставило перед медичною службою проблеми захисту особового складу від токсичної дії ракетних палив та вивчення токсикології і розробки методів лікування уражених. Загальна характеристика комп... 20. Реферат: Компьютерна графіка 1. Вступ 2. Огляд графічних редакторів 2.1. Класифікація видів комп’ютерної графіки 2.1.1. Компьютерна графіка для поліграфії 2.1.2. Двовимірний комп’ютерний живопис 2.1.3. Презентаційна графіка 2.1.4. Двовимірна анімація, яка викор... 21. Реферат: Компютерна вірусологія: криміналістична класифікація Створення та обробка інформації, в тому числі і документованої, можна було б, з точки зору інформатики, звести, в загальному вигляді, до вербалізації результатів аналізу природи отриманих сигналів та її підготовки до передачі. Процес створення (ви... |
|