Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних - реферат українською
Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність (відповідно ).
За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних маємо такі необхідні умови екстремуму:
Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.
Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь
розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.
Означення.
Вектор
називається градієнтом функції .
Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції.
Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так.
Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.
Теорема (без доведення).
Нехай функція визначена в деякому околі точки і fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=0. Нехай A= fxx(x0,y0), B fxy(x0,y0) та C = fyy(x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A0 – мінімум ).
При AC-B20.
Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .
Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x1…xn).
Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе).
.
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається додатно визначеною в точці ( ) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо M1>0, M20,…,(-1)nMn>0.
У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.
Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від’ємними.
Теорема .
Нехай функція z = f(x1…xn) визначена в околі точки ( ) і .
Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці ( ) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A0, …) – максимум.
Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі “Математичне програмування”.
За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних маємо такі необхідні умови екстремуму:
Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.
Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь
розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.
Означення.
Вектор
називається градієнтом функції .
Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції.
Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так.
Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних.
Теорема (без доведення).
Нехай функція визначена в деякому околі точки і fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=0. Нехай A= fxx(x0,y0), B fxy(x0,y0) та C = fyy(x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A0 – мінімум ).
При AC-B20.
Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .
Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x1…xn).
Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе).
.
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається додатно визначеною в точці ( ) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де
Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо M1>0, M20,…,(-1)nMn>0.
У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.
Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від’ємними.
Теорема .
Нехай функція z = f(x1…xn) визначена в околі точки ( ) і .
Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці ( ) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A0, …) – максимум.
Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі “Математичне програмування”.
Скачати реферат Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Зміщення сичуга: діагностика та способи лікування Під впливом різних причин сичуг може міняти своє анатомічне положення щодо органів, які до нього прилягають. Зміщення сичуга вліво є досить поширеним видом патології у високопродуктивних корів країн Західної Європи та США. У фермерських господарств... 2. Реферат: Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент Оцінка похибок вимірювань, особливо непрямих, є досить складною процедурою, яка не може мати єдиного чіткого алгоритму, що спрацьовує у будь-якій ситуації. З іншого боку, стиль викладення відповідного матеріалу в навчальній літературі має нахил до... 3. Реферат: Знак зодіака, сузіря - Скорпіона Майже над самою точкою півдня, лівіше Терезів, можна розрізнити сузір'я Скорпіона з червоним Антаресом (). Це сузір'я краще помітне в південних районах нашої країни. Відповідно до грецького міфу, коли мисливець Оріон розсердив непорочну бо... 4. Реферат: Знак зодіаку – Терези Терези - зодіакальне сузір'я. Найкраще його спостерігати наприкінці зими, навесні і на початку літа. Його оточують сузір'я Змієносця, Скорпіона, Вовка, Діви і Змії. Неозброєним оком у ньому можна бачити близько 50 зірок. Шість з них яскравіше четверт... 5. Реферат: Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність. План. 1. Означення закономірного ряду. 2. Теорема Коші. 3. Абсолютна та умовна збіжність. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. Якщо в ряді з ... 6. Реферат: Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів План • Знакочергуючі ряди • Ознака Лейбніца • Оцінка залишку ряду • Знакозмінні ряди • Абсолютна та умовна збіжності • Властивості абсолютно збіжних та умовно збіжних рядів 1. Знакочергуючі ряди До цих пір ми розглядали ряди,... 7. Реферат: Знакування (маркування) туристських шляхів (маршрутів) 1. Загальні засади та правові підстави застосування. Ця інструкція встановлює: порядок організації і проведення знакувальних робіт, класифікацію знаків, які служать для орієнтації туристів на туристських шляхах під час їх подорожей за визначеними ... 8. Реферат: Знакування туристичних маршрутів на місцевості Поряд із спеціальними туристичними значками, які традиційно використовують на картах, планах і схемах, існує система туристичних знаків на місцевості. Обидві системи умовних знаків покликані сприяти туристу у своєчасному отриманні корисної інформації... 9. Реферат: Знання наших прадідів про цілющі властивості води на багато тисячоліть випередили останні наукові дослідження японських та російських вчених За останніми науковими дослідженнями в багатьох країнах світу вода — основний носій біоенергоінформації в природі. Саме завдяки біоенергоінформаційним властивостям вода впливає на функціональний стан цілісної системи організму людини й окремих й... 10. Реферат: Знахідки фальшивих півтораків Сигізмунда III на території козацького містечка Самарь Знахідки красномовно свідчать про те, що фортецю було збудовано не на порожньому місці й наочно доводять вірогідність припущення краєзнавців В.В.Бінкевича та В.Ф.Камеко про існування тут старовинного запорізького містечка Самарь з перевозом ще у XVI ...
11. Реферат: Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних
Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність (відповідно ). За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних... 12. Реферат: Значення досліджень архітектури й містобудування України доби Гетьманщини Актуальність даних досліджень можна пояснити наступним чином: з падінням тоталітарної системи й набуттям Україною державної незалежності актуалізувалася потреба в створенні об'єктивної, вільної від ідеологічних спотворень історії України, історії укр... 13. Реферат: Значення автоматизації в організації виробничого процесу ВСТУП. Ще із стародавніх часів людина пристосовувалася до умов навколишнього середовища, сприймав її таку як є і намагався підстроїти під себе. Він вже тоді прагнув полегшити свою працю шляхом вживання різних предметів і вже потім механізмів. З ро... 14. Реферат: Значення вини сторін трудових правовідносин при кваліфікації трудового каліцтва При вирішенні питання про кваліфікацію нещасного випадку не приймається до уваги суб’єктивна сторона питання, тобто можлива вина заподіювача або потерпілого. Іншими словами, вид, характер нещасного випадку і його можливі наслідки у вигляді каліцт... 15. Реферат: Значення галогенів та їх сполук у житті людини. Йод План Іододефіцит в Україні. Як відбувається накопичення Іоду в організмі. Вікові норми вживання Іоду. Історія йодування солі. Користь йодованої солі, способи її збереження. За оцінками ВООЗ у світі 1,5 млрд. осіб зазнають дефіциту Іоду, 3... 16. Реферат: Значення гімнастики для фізичного вдосконалення людини В наш час підлітки та юнаки часто захоплюються атлетичною гімнастикою. Ці захоплення цілком можна використати для формування Інтересу до занять фізичними вправами взагалі та справи виховання сили м'язів зокрема. Для всіх вікових груп школярів (у п... 17. Реферат: Значення гри для психічного розвитку дошкільника Гра має виняткове значення для психічного розвитку дитини і являється ведучою діяльністю в дошкільному віці. Це змушує деяких дослідників переглянути статус гри в житті дітей дошкільного віку . Гра є тією універсальною формою діяльності, всередині... 18. Реферат: Значення досліджень архітектури й містобудування України доби Гетьманщини Актуальність даних досліджень можна пояснити наступним чином: з падінням тоталітарної системи й набуттям Україною державної незалежності актуалізувалася потреба в створенні об'єктивної, вільної від ідеологічних спотворень історії України, історії ... 19. Реферат: Значення законiв логіки для науки і практики Значення законiв логіки для науки і практики Мислення підпорядковується логічним законам мислення. Основними законами формальної логіки є: закон тотожності, закон достатньої підстави, закон суперечності, закон виключеного третього. Формально... 20. Реферат: Значення і місце атомної енергетики України Вступ Значення і місце атомної енергетики України Атомна енергетика(АЕ) – енергетика, зв’язана з проблемами виробітку та використання атомної енергії. АЕ стала окремою галуззю енергетики після Другої світової війни. Сьогодні вона відіграє важливу... 21. Реферат: Значення і світова слава Тараса Шевченка Шевченко є основоположником нової української літератури і родоначальником її революційно-демократичного напряму. Саме в його творчості повно розвинулися ті начала, які стали провідними для передових українських письменників другої половини ХІХ – п... |
|