Модальні групи структурні властивості - реферат українською

Модальні групи

(структурні властивості)

Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток . Клас всіх таких груп позначимо . Зрозуміло, що клас замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку.

Відображення є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм не є ізоморфізмом.

Фундаментальні результати для класа модулярних груп (М), класа дистрибутивних груп (D) та ін. викладено в монографії [5].

Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G (Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення:

T (Ai + Aj) ,

де і, j = 1,…, n; причому і j. Якщо l < m, то очевидно (Ul) (Um). Зрозуміло також, що (U2) = (D).

Опис класів (U3) і (U4) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда (U5).

1. Опис групоїда (U3).

Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову:

G – локально циклічна група;

G {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку;

G = A B*, де А {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок.

Із цього результату, зокрема, випливає включення (U3) (M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1.

2. Опис групоїда U4).

Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n.

Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t і t , порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля.

Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів:

G – локально циклічна група;

G {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку;

G = В С K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1.

Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x2, y2] = 1.

Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2] = 1, дається наступним твердженням.

Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = Q  C  K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами.

Групу S3(m) виду:

,

будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу (U4) мають наступну будову:

G = Q  C  B, де B – локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами;

G = A S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1.

3. Будова деяких груп із класу (U5).

Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6, y6] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y G (U5) має місце рівність ху6х –1 = у6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли

G – локально циклічна група;

G {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D {B2 B2, B4 B2, B8 B2, B4 B4, E(2, 8)} і Bl – циклічна група l-го порядку;

G = C D T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1.

Якщо в періодичній модальній групі G = елемент c = [a, b] 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8, або групу Т3, де Т3 має вигляд:

.

Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою.

Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні:

G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1;

G = A B, де А – абелева, модальна і періодична, а В {Q, Q*, D8, T3}, причому (А, В) = 1.

Тут Q* = Q {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку.

• А
• Б
• В
• Г
• Д
• Е
• Є
• Ж
• З
• И
• І
• Ї
• Й
• К
• Л
• М
• Н
• О
• П
• Р
• С
• Т
• У
• Ф
• Х
• Ц
• Ч
• Ш
• Щ
• Ю
• Я