Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків - реферат українською
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь
Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд
Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд
Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію, - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам. Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку, що задовольняє початковим даним
де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння .
Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, розв’язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.
Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.
2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
Якщо задані умови Коші
то розв’язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержимо
Проінтегрувавши його, маємо
І одержимо параметричний запис рівняння -порядку
Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення, одержуємо
Проінтегрувавши, маємо
І одержали параметричний запис рівняння -порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв'язати відносно старшої похідної
Домножимо його на й одержимо
Перепишемо його у вигляді
Проінтегрувавши, маємо
тобто,
Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку
і повернулися до третього випадку.
3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.
1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно
Зробивши заміну:
одержимо рівняння -порядку.
2) Рівняння не містить явно незалежної змінної
Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від. Тоді
Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.
3) Нехай функція диференціального рівняння
є однорідної щодо аргументів.
Робимо заміну, де - нова невідома функція. Одержимо
Після підстановки одержимо
Оскільки рівняння однорідне відносно, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо
диференціальне рівняння -порядку.
4) Нехай ліва частина рівняння
є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто
У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл
5) Нехай диференціальне рівняння
розписано у вигляді диференціалів
і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну, де - нові змінні. Тоді одержуємо
Підставивши, одержимо
Скоротивши на одержимо.
Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.
Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд
Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд
Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію, - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам. Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку, що задовольняє початковим даним
де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння .
Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, розв’язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.
Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам
Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.
2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
1) Рівняння вигляду
Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
Якщо задані умови Коші
то розв’язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення , одержимо
Проінтегрувавши його, маємо
І одержимо параметричний запис рівняння -порядку
Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
Використовуючи основне співвідношення, одержуємо
Проінтегрувавши, маємо
І одержали параметричний запис рівняння -порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв'язати відносно старшої похідної
Домножимо його на й одержимо
Перепишемо його у вигляді
Проінтегрувавши, маємо
тобто,
Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку
і повернулися до третього випадку.
3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.
1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно
Зробивши заміну:
одержимо рівняння -порядку.
2) Рівняння не містить явно незалежної змінної
Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від. Тоді
Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку.
3) Нехай функція диференціального рівняння
є однорідної щодо аргументів.
Робимо заміну, де - нова невідома функція. Одержимо
Після підстановки одержимо
Оскільки рівняння однорідне відносно, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо
диференціальне рівняння -порядку.
4) Нехай ліва частина рівняння
є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто
У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл
5) Нехай диференціальне рівняння
розписано у вигляді диференціалів
і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну, де - нові змінні. Тоді одержуємо
Підставивши, одержимо
Скоротивши на одержимо.
Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.
Скачати реферат Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Негнійні захворювання вуха: гострий і хронічний катар середнього вуха, нейросенсорна приглухуватість, отосклероз, хвороба меньєра. Кохлеарна імплантац ЛЕКЦІЯ Негнійні захворювання вуха: гострий і хронічний катар середнього вуха, нейросенсорна приглухуватість, отосклероз, хвороба меньєра. Кохлеарна імплантація. До цієї групи відносяться наступні нозологічні одиниці: гострий та хронічний катар с... 2. Реферат: НЕДВОЗНАЧНЕ ТАК НЕДВОЗНАЧНЕ ТАК Усім нам дуже знайомий вислів який як правило викликає як мінімум посмішку, а зазвичай зневажливу насмішку особливо сторони чоловічої статі. Цей вислів звучить так “Дівчина каже ні, а думає так, Думає так, а каже ні”. Напевне ко... 3. Реферат: Недоліки хеджування,практика хеджування План. 1. Недоліки хеджування. 2. Практика хеджування. 1. Можна зробити висновок, що хеджування доцільно проводити учасниками реальної торгівлі, оскільки ці операції вигідні. Але необхідно знати і ті труднощі, які можуть виникнути при проведе... 4. Реферат: Незалежність та безвідкличність гарантії за цивільним кодексом України Цивільний кодекс (ЦК) України виділив гарантію в спеціальний інститут, вихідні положення якого наближені до принципів регулювання банківської гарантії, що склались у міжнародній банківській практиці, і передусім в Уніфікованих правилах для гарантії ... 5. Реферат: Незалежність України 1991 Компартійно-радянський центр виніс у березні 1991 року на Всенародний референдум питання про доцільність дальшого існування СРСР. Голова ж Верховної Ради УРСР Л.Кравчук у цій ситуації запропонував одночасно із загальнодержавним референдумом п... 6. Реферат: Незалежність центральних банків НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ЦЕНТРАЛЬНИХ БАНКІВ Можливість ефективної реалізації центральним банком грошово-кредитної політики значною мірою залежить від його статусу та рівня незалежності від органів виконавчої влади. Річ у тім, що центральний банк повинен час від... 7. Реферат: Нейромережні технології З середини 1980-их років нейронні системи почали використовуватися на Заході переважно в фінансових і військових прикладних пакетах. Але, незважаючи на успіх, інструмент виявився достатньо складним і дорогим. Ситуація змінилася на початку 1990-их рок... 8. Реферат: Нейрохімічні зміни в структурах головного мозку при дії стресових факторів Відомо, що дія екстремальних факторів на організм, до яких належать і психоемоційне напруження та інтенсивна м’язова робота, викликає активацію симпато-адреналової системи [5]. Тривале підвищення концентрації катехоламінів в крові супроводжується... 9. Реферат: Нейтронні зорі Зорі складаються з сильно нагрітого іонізованого газу, стиснутого спільним гравітаційним притяжінням. При заглибленні в надра зорі тиск, густина і температура газу зростають (у центрі зорі температура досягає 15-20 млн. градусів). Джерелом енергії є ... 10. Реферат: Некробактеріоз не хвороба, а результат антисанітарії Хвороби кінцівок у корів бувають часто й завдають відчутних збитків господарствам унаслідок зниження продуктивності хворих тварин, витрат на лікування, частого вибракування їх у разі неефективності лікування. Особливо ця проблема загострилася в роки...
11. Реферат: Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд Іноді його називають диференціальним рівн... 12. Реферат: Нелінійні еволюційні рівняння (редукція) В даній роботі розглядається проблема класифікації нелінійних рівнянь теплопровідності, що допускають редукцію до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Наведені класи нелінійних еволюційних рівнянь, анзаци та системи ЗДР, до яких за допомог... 13. Реферат: Нелінійні еволюційні рівняння(редукція) Нелінійні еволюційні рівняння(редукція) В даній роботі розглядається проблема класифікації нелінійних рівнянь теплопровідності, що допускають редукцію до систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Наведені класи нелінійних еволюційних рівнянь... 14. Реферат: Нелюди і люди в романі Л.Костенко Маруся Чурай Мета: утверджувати високі моральні цінності, прагнення зберегти кращі людські якості, робити добро; формувати вміння творчо осмислювати прочитане; розуміти красу слова поетеси. Тип уроку: нетрадиційний. Коли тривоги життьової Тебе підхопит... 15. Реферат: Нематеріальні активи Нематеріальні ресурси, як і решта ресурсів, що застосовуються в діяльності підприємства, мають бути створені або придбані підприємством. Водночас нематеріальні ресурси відрізняються від матеріальних певними характеристиками, пов’язаними з їхньою при... 16. Реферат: Нематеріальні активи як об’єкт обліку Оскільки стрімкі економічні зміни в Україні вимагають звернення особливої уваги на ведення обліку нематеріальних активів, тому доцільно акцентувати увагу на узгодження ведення їх обліку в розрізі бухгалтерського та податкового обліку. Згідно д... 17. Реферат: Нематеріальні ресурси Визначальною рисою сучасного періоду розвитку всіх без винятку розвинених країн є зростання в суспільному виробництві ролі науково-технічних знань та інших результатів творчої діяльності людини. Використання накопиченого капіталу знань веде до суттє... 18. Реферат: Нематеріальні ресурси підприємства та їх правовий захист План Вступ 1. Поняття та види нематеріальних ресурсів. 2. Об’єкти промислової власності. 3. Об’єкти, що охороняються авторським правом та суміжними правами. 4. Інші (нетрадиційні) об’єкти інтелектуальної власності. Список використан... 19. Реферат: Нематеріальні ресурси, нематеріальні активи, оцінка вартості та амортизація нематеріальних активів. Нематеріальні ресурси Визначальною рисою сучасного періоду розвитку всіх без винятку розвинених країн є зростання в суспільному виробництві ролі науково-технічних знань та інших результатів творчої діяльності людини. Використання накопиченого капі... 20. Реферат: Необоротність процесів. Принцип дії теплових двигунів. ККД теплових двигунів Тема: Необоротність процесів. Принцип дії теплових двигунів. ККД теплових двигунів. Мета: Дати учням поняття необоротних процесів у природі і показати, що всі реальні теплові процеси необоротні. Розкрити принцип дії теплового двигуна як у... 21. Реферат: Необхідна оборона ПЛАН : Вступ 1. Види обставин, що виключають злочинність діяння 2. Необхідна оборона А)поняття необхідної оборони Б)умови необхідної оборони В)перевищення меж необхідної оборони 3. Відмінність необхідної оборони від крайньої необ... |
|