Основні означення та факти з теорії визначників - реферат українською
Визначники другого та третього порядку.
Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.
Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом
x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.
Поняття матриці.
Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.
Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.
Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.
Поняття перестановки.
Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.
Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.
Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.
Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел.
Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.
Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.
Теорема 1.
Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!
Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.
Теорема 2.
Кожна транспозиція змінює парність перестановки.
Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює.
Поняття визначника n–го порядку.
Нехай дана квадратна матриця A порядку n
Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знаК.
Визначник матриці A позначається так
Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.
Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,
Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях. Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.
Аналітичний запис визначника.
Нехай
Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді … , де 1,2,…,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,…,n) число інверсій в перестановці 1,2,…,n. Тоді
де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.
Лема про знак.
Нехай
і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jn – дві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток …входить до визначника зі знаком .
Друге означення визначника.
Нехай дана квадратна матриця A порядку n
Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .
Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.
Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом
x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.
Поняття матриці.
Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.
Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.
Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.
Поняття перестановки.
Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.
Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.
Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.
Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел.
Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.
Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.
Теорема 1.
Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!
Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.
Теорема 2.
Кожна транспозиція змінює парність перестановки.
Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює.
Поняття визначника n–го порядку.
Нехай дана квадратна матриця A порядку n
Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знаК.
Визначник матриці A позначається так
Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.
Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,
Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях. Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.
Аналітичний запис визначника.
Нехай
Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді … , де 1,2,…,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,…,n) число інверсій в перестановці 1,2,…,n. Тоді
де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.
Лема про знак.
Нехай
і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jn – дві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток …входить до визначника зі знаком .
Друге означення визначника.
Нехай дана квадратна матриця A порядку n
Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .
Скачати реферат Основні означення та факти з теорії визначників
Схожі українські реферати
|
1. Реферат: Основні напрямки розвитку науково-технічного прогресу Зміст: 1.Вступ. 3 2.Основні напрямки розвитку науково-технічного прогресу. 6 2.1.Механізація виробництва. 6 2.2. Автоматизація виробництва. 12 2.3. Комп’ютерізація виробництва. 13 2.4. Електрифікація та енергозбережувальні технолог... 2. Реферат: Основні напрямки розробки проблем економічної теорії в українській економічній літературі 60-70 рр. ХХ ст 30-х років політичній економії в Україні нищівного удару завдав Сталін. Після конференції аграрників-марксистів почались переслідування та знищення всіх економістів, які мали власну принципову позицію. Відродження економічної думки України починає... 3. Реферат: Основні напрямки становлення розвитку політичної системи та суспільства в сучасній Україні ПЛАН 1. Поняття політичної системи 2. Структура політичної системи 3. Функції політичної системи 4. Політична система України 1. Поняття політичної системи Різні політичні явища в суспільстві об'єднанні поняттям "політична система" ... 4. Реферат: Основні напрямки фінансового аналізу З М І С Т 1. Основні напрямки фінансового аналізу, їх економічна суть..............- 3 2. Спосіб ланцюгових підставок у фінансовому аналізі..............................- 10 3. Задача № 1.................…………............................... 5. Реферат: Основні напрямки хімізації сільського виробництва 1. Використання мінеральних добрив. 2. Роль регуляторів росту рослин. 3. Використання засобів захисту рослин: пестицидів, гербіцидів, фунгіцидів. 4. Роль хімії у тваринництві. Заграновської Інни 11-Б кл. 1. Використання мінеральних до... 6. Реферат: Основні номінали грошового обігу України X-XX століть г. Харьков 1999 год Выполнила студентка ІІІ курса заочного отделения специальность 75106-1 группы 1 Стефаненко Л.В. ОСНОВНІ НОМІНАЛИ ГРОШОВОГО ОБІГУ УКРАЇНИ Х-ХХ СТОЛІТЬ У зв’язку з введенням української національної ва... 7. Реферат: Основні номінали грошового обігу України X-XX століть У зв’язку з введенням української національної валюти походження окремих грошових одиниць цікавить не тільки спеціалістів, а й широкі верстви населення. Якщо назва широко відомої вагової, грошово-вагової та грошово-лічильної одиниці Київської ... 8. Реферат: Основні об’єкти обліку в бюджетних організаціях. Облік касових операцій. Облік вибуття необоротних активів. Практичне завдання План Вступ 1. Основні об’єкти обліку в бюджетних організаціях. 2. Облік касових операцій. 3. Облік вибуття необоротних активів. 4.Практичне завдання. Література Вступ В Україні функціонують близько 40 тисяч установ та організа... 9. Реферат: Основні об’єкти планування в діяльності. Роль мотивації у діяльності керівника. Особливості проведення нарад 1. Основні об’єкти планування в діяльності Планування відноситься до загальних, базових функцій менеджменту і є відправною ланкою у циклі управління. Планування визначає, якими мають бути цілі організації і що слід робити її членам, щоб їх досягти... 10. Реферат: Основні ознаки офіційно-ділового стилю Основні ознаки офіційно-ділового стилю У ст. 11 Закону «Про мови в Українській РСР» записано: «Мовою роботи, діловодства й документації, а також взаємовідносин державних, партійних, громадських органів, підприємств, установ, організацій є українсь...
11. Реферат: Основні означення та факти з теорії визначників
Визначники другого та третього порядку. Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1. Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом x1y2z3 ... 12. Реферат: Основні операції та документи банківської справи План 1. Документи платіжного обігу 2. Банківські безготівкові розрахунки Література 1. Документи платіжного обігу У сучасній практиці розрахунків застосовуються документи різноманітного призначення. Їх можна об’єднати у такі групи: роз... 13. Реферат: Основні організації та функції банківської системи. Структура банківської системи України Так, прийнятий у 1991 р. Закон України «Про банки і банківську діяльність» перш ніж визначити, які банки можуть бути в Україні і як вони повинні функціонувати, зафіксував концептуальне положення, що банківська система України має бути дворівневою, ус... 14. Реферат: Основні організаційні структури іноваційних процесів 1. Іноваційний процес. 2. Класифікація іновацій. 3. Інноваційні структури та їх класифікація. 4. Література. 1. Іноваційний процес. Загальновідомо, що перехід від однієї якості до другої потребує витрат ресурсів (енергії, часу, фінансі... 15. Реферат: Основні підходи щодо кількісного аналізу ризику Необхідно звернути увагу на те, що для кількісного аналізу ризику використовують низку методів. Серед них [1], як показують дослідження, інваріантними стосовно широкого спектра економічних проблем є такі: метод аналогій; аналіз чутливості (вразлив... 16. Реферат: Основні показники витрат обігу та їх оцінка Витрати обігу можуть бути виміряні абсолютними і відносними величинами. Абсолютна величина характеризує сумарні (загальні) витрати обігу підприємства, пов'язані зі здійсненням певного обсягу товарообороту. Загальні витрати обігу підприємства поділя... 17. Реферат: основні показники, які комплексно характеризують виробничо-господарську діяльність Вступ. І. Аналіз основних показників, які комплексно характеризують виробничо-господарську діяльність……………………………… … 4 ІІ. Аналіз фінансового стана підприємства……………………… 11 1. Аналіз структури пасиву балансу. Оцінка ринкової стійкості підпри... 18. Реферат: Основні положення виконавців в українському катодному танці Позиції та положення рук. Обидві руки виконавця можуть бути у чотирьох основних напрямках стосовно до нього. Згідно з |цим установлюються такі позиції рук: вихідне положення - руки опущені вниз; перша позиція - руки спрямовані уперед, кисті - д... 19. Реферат: Основні положення вірменського феодального права за судебником Мхітара Гоша В епоху раннього феодалізму частина населення Вірменії, внаслідок історичних умов змушена була покинути свою батьківщину і переселяться в інші країни. Значна група вірменських переселенців різними шляхами досягнула також України. Перші вірменські... 20. Реферат: ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ВЧЕННЯ ДАРВІНА План 1. Еволюційні уявлення до Чарлза Дарвіна. 2. Виникнення вчення Чарлза Дарвіна. 3. Основні положення вчення. ЕВОЛЮЦІЙНІ УЯВЛЕННЯ ДО ЧАРЛЗА ДАРВІНА На Землі існує не менш 2 млн видів тварин, до 0,5 млн видів рослин, сотні тисяч виді... 21. Реферат: Основні положення охорони праці на виробництві Вступ Метою управління охороною праці е забезпечення безпеки, збереження здоров'я та працездатності людини в процесі праці. Ця мета досягається виконанням відповідних функцій управління, тобто комплексом взаємопов'язаних видів, що здійснюються суб... |
|